Intrication & Mesure
L'intrication est peut-être la caractéristique la plus étrange de la mécanique quantique, ce qu'Einstein appelait « l'action fantôme à distance ». Deux particules peuvent être corrélées d'une manière sans explication classique, et ces corrélations persistent quelle que soit la distance qui sépare les particules.
Systèmes composites
Lorsque nous avons deux systèmes quantiques, l'espace d'états combiné est le produit tensoriel des espaces individuels.
Qu'est-ce qu'un produit tensoriel ?
Le produit tensoriel $\otimes$ est l'opération mathématique qui combine deux espaces d'états en un seul. Imaginez deux pièces de monnaie : chacune peut être pile ou face (2 états), mais le système de deux pièces a 4 états possibles (pile-pile, pile-face, face-pile, face-face). Le produit tensoriel formalise cette combinaison. La notation $|a\rangle \otimes |b\rangle$ signifie « le système A est dans l'état $a$ ET le système B est dans l'état $b$ ».
Produits tensoriels
Si le système A a les états $|a_1\rangle, |a_2\rangle, \ldots$ et le système B a les états $|b_1\rangle, |b_2\rangle, \ldots$, le système combiné a les états :
$$|a_i\rangle \otimes |b_j\rangle = |a_i, b_j\rangle = |a_i b_j\rangle$$Un état général est une superposition :
$$|\Psi\rangle = \sum_{i,j} c_{ij} |a_i\rangle \otimes |b_j\rangle$$États produits vs. états intriqués
Un état produit (ou état séparable) peut être factorisé :
$$|\Psi\rangle = |\phi\rangle_A \otimes |\chi\rangle_B$$Un état intriqué ne peut pas s'écrire comme un produit. Les sous-systèmes n'ont pas d'états indépendants.
Qu'est-ce qu'un qubit ?
Un qubit (bit quantique) est le système quantique le plus simple : il peut être dans l'état $|\uparrow\rangle$ (« haut »), l'état $|\downarrow\rangle$ (« bas »), ou toute superposition des deux. C'est l'analogue quantique d'un bit classique (0 ou 1), sauf qu'il peut être « les deux à la fois ».
Qu'est-ce que le spin ?
Le spin est une propriété intrinsèque des particules quantiques, un peu comme une rotation interne. Pour un électron, le spin ne peut prendre que deux valeurs quand on le mesure dans une direction donnée : « haut » ($|\uparrow\rangle$) ou « bas » ($|\downarrow\rangle$). Ce n'est pas une rotation au sens classique, mais plutôt un moment cinétique purement quantique sans équivalent dans le monde de tous les jours.
Exemple : Deux qubits
État produit : $|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle$ : le premier spin est vers le haut, le second vers le bas
État intriqué : $\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle)$, ne peut pas être factorisé !
Les états de Bell
Les états maximalement intriqués de deux qubits. Ils forment une base complète pour l'espace à deux qubits.
Base de Bell
$$|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\uparrow\rangle + |\downarrow\downarrow\rangle)$$ $$|\Phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\uparrow\rangle - |\downarrow\downarrow\rangle)$$ $$|\Psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle)$$ $$|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle)$$Corrélations parfaites
Considérons $|\Psi^-\rangle$ : si vous mesurez la particule A et trouvez spin vers le haut, la particule B est instantanément spin vers le bas, quelle que soit la distance qui les sépare. Les résultats sont parfaitement anti-corrélés.
Mais voici le point crucial : avant la mesure, aucune des particules n'a de spin défini. La corrélation existe sans valeurs prédéterminées.
Le paradoxe EPR
En 1935, Einstein, Podolsky et Rosen ont argumenté que la mécanique quantique devait être incomplète.
L'argument
EPR a défini un critère de réalité physique : si nous pouvons prédire une propriété avec certitude sans perturber le système, cette propriété est « réelle ».
L'hypothèse de localité
La localité est l'idée que ce qui se passe ici ne peut pas affecter instantanément ce qui se passe là-bas. Toute influence physique doit se propager à une vitesse finie (au plus celle de la lumière). C'est un principe central de la relativité d'Einstein. Le paradoxe EPR montre que l'intrication quantique semble violer cette intuition.
Pour une paire intriquée :
- Mesurer le spin-z de la particule A → on connaît le spin-z de B avec certitude
- Alternativement, mesurer le spin-x de A → on connaît le spin-x de B avec certitude
- Ces mesures sur A ne perturbent pas B (hypothèse de localité)
- Donc, B « a réellement » à la fois les valeurs spin-z et spin-x
- Mais la mécanique quantique dit que B ne peut pas avoir de valeurs définies pour les deux simultanément !
EPR a conclu : la mécanique quantique est incomplète. Il doit exister des « variables cachées » déterminant les résultats.
Le point de vue d'Einstein
« Dieu ne joue pas aux dés. » Einstein croyait que le hasard apparent reflétait notre ignorance, pas une indétermination fondamentale. Les corrélations devaient provenir d'informations partagées transportées par les particules depuis leur origine commune.
Le théorème de Bell
En 1964, John Bell a montré que le débat pouvait être tranché expérimentalement. Les théories à variables cachées locales font des prédictions différentes de la mécanique quantique.
Le dispositif
Deux particules s'éloignent l'une de l'autre. Chacune atteint un détecteur qui peut être réglé pour mesurer le spin selon l'une de plusieurs directions. Les résultats de mesure sont +1 ou -1.
L'inégalité de Bell (forme CHSH)
Définissons la fonction de corrélation $E(a,b)$ comme le produit moyen des résultats quand A utilise le réglage $a$ et B le réglage $b$.
Pour toute théorie à variables cachées locales :
Inégalité CHSH
$$|E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b')| \leq 2$$C'est une contrainte mathématique sur toute théorie où les résultats sont déterminés par des variables cachées locales.
La mécanique quantique viole l'inégalité
Pour l'état singulet $|\Psi^-\rangle$ avec des choix d'angles optimaux :
$$|E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b')| = 2\sqrt{2} \approx 2.83$$La mécanique quantique prédit une valeur dépassant 2. Les expériences confirment systématiquement la prédiction quantique.
Ce que prouve le théorème de Bell
Aucune théorie à variables cachées locales ne peut reproduire toutes les prédictions de la mécanique quantique. Soit :
- La localité échoue : Mesurer A affecte instantanément B (mais aucune transmission d'information plus rapide que la lumière n'est possible)
- Le réalisme échoue : Les particules n'ont pas de propriétés définies avant la mesure
La plupart des physiciens acceptent une certaine forme de non-localité, tout en notant qu'elle ne peut pas être utilisée pour communiquer plus vite que la lumière.
Le problème de la mesure
La mécanique quantique décrit deux types d'évolution :
- Évolution unitaire : L'équation de Schrödinger fait évoluer les états de manière continue et déterministe
- Mesure : L'état « s'effondre » vers un état propre, de manière probabiliste
Qu'est-ce que l'évolution unitaire ?
L'évolution unitaire est le mode « normal » d'évolution en mécanique quantique, dicté par l'équation de Schrödinger. Elle est déterministe (connaissant l'état à un instant, on peut prédire l'état à tout instant futur) et réversible (on peut « rembobiner » le film). Le mystère est que la mesure semble interrompre cette évolution douce par un saut brusque et aléatoire.
Mais qu'est-ce qui constitue exactement une « mesure » ? Quand l'effondrement se produit-il ? C'est le problème de la mesure.
Le chat de Schrödinger
La célèbre expérience de pensée de Schrödinger met en lumière le problème. Un chat dans une boîte est intriqué avec un atome radioactif :
$$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\text{non désintégré}\rangle|\text{vivant}\rangle + |\text{désintégré}\rangle|\text{mort}\rangle)$$Avant que nous regardions, le chat est-il dans une superposition de vivant et mort ? Quand la superposition se résout-elle ?
Différentes interprétations donnent différentes réponses à cette question (voir la leçon suivante).
Décohérence
La décohérence explique pourquoi nous ne voyons pas de superpositions quantiques dans la vie quotidienne, bien qu'elle ne résolve pas entièrement le problème de la mesure.
Le mécanisme
Les systèmes réels interagissent avec leur environnement (molécules d'air, photons, champs électromagnétiques parasites). Ces interactions causent l'intrication avec l'environnement :
$$|\psi\rangle|E_0\rangle \to \alpha|a\rangle|E_a\rangle + \beta|b\rangle|E_b\rangle$$Quand les états de l'environnement $|E_a\rangle$ et $|E_b\rangle$ deviennent orthogonaux, l'interférence entre $|a\rangle$ et $|b\rangle$ disparaît, pour toute observation pratique du système seul.
La matrice densité
Qu'est-ce que la matrice densité ?
La matrice densité $\rho$ est un outil mathématique qui généralise la notion de fonction d'onde. Elle permet de décrire un système dont on ne connaît pas parfaitement l'état, par exemple parce qu'il est intriqué avec son environnement. L'opération de trace partielle (« tracer sur l'environnement ») consiste à « oublier » les degrés de liberté de l'environnement pour ne garder que la description du système qui nous intéresse.
En traçant sur l'environnement, la matrice densité réduite du système évolue de pure à mélangée :
$$\rho = |\alpha|^2|a\rangle\langle a| + |\beta|^2|b\rangle\langle b|$$Cela ressemble à une distribution de probabilité classique : les termes hors diagonale de « cohérence » ont décru.
Ce que la décohérence explique
- Pourquoi les chats apparaissent soit vivants soit morts, pas en superposition
- Pourquoi le comportement classique émerge aux échelles macroscopiques
- La base « pointeur » privilégiée des résultats de mesure
- L'émergence de la probabilité classique à partir des amplitudes quantiques
Ce que la décohérence n'explique pas
- Pourquoi nous voyons un résultat particulier plutôt que d'autres
- Où « vont » les autres branches (si elles vont quelque part)
Échelles de temps de décohérence
La décohérence est extrêmement rapide pour les objets macroscopiques :
| Système | Temps de décohérence |
|---|---|
| Grande molécule dans l'air | ~10⁻³¹ secondes |
| Grain de poussière | ~10⁻³⁶ secondes |
| Chat | ~10⁻⁴² secondes |
| Qubit supraconducteur (isolation ingénierie) | ~10⁻⁶ secondes |
Cela explique pourquoi les effets quantiques sont difficiles à observer macroscopiquement : toute superposition décohère presque instantanément.
Information quantique
L'intrication n'est pas qu'une curiosité philosophique, c'est une ressource pour le traitement de l'information.
Téléportation quantique
En utilisant une paire intriquée partagée plus une communication classique, on peut transmettre un état quantique sans envoyer physiquement la particule. L'état original est détruit dans le processus (pas de clonage).
Cryptographie quantique
L'intrication permet une distribution de clés fondamentalement sécurisée. Toute écoute clandestine perturbe l'état intriqué, révélant l'intrus.
Calcul quantique
L'intrication fournit une puissance de calcul au-delà des ordinateurs classiques. Un registre à $n$ qubits peut exister dans une superposition de $2^n$ états, l'intrication les corrélant de manière utile.
- L'intrication est une corrélation purement quantique sans analogue classique
- Les particules intriquées n'ont pas d'états indépendants : le tout a des propriétés que les parties n'ont pas
- Le théorème de Bell exclut les explications par variables cachées locales des corrélations quantiques
- Les expériences confirment la mécanique quantique : la nature est non locale en un certain sens
- Le problème de la mesure reste ouvert : quand et comment l'effondrement se produit-il ?
- La décohérence explique l'émergence du comportement classique mais ne résout pas entièrement la mesure
- L'intrication est une ressource pour le traitement de l'information quantique