Supraconductivité
En 1911, Heike Kamerlingh Onnes refroidit du mercure à 4,2 K et vit sa résistance électrique disparaître. Non pas diminuer, non pas devenir très petite, mais chuter exactement à zéro. Cette découverte de la supraconductivité inaugura l'un des chapitres les plus remarquables de la physique : un phénomène quantique macroscopique dans lequel des milliards d'électrons agissent comme une entité unique et cohérente, produisant des effets qui semblent défier l'intuition classique. Comprendre la supraconductivité a nécessité des décennies d'effort théorique et a révélé une connexion profonde entre la mécanique quantique, la brisure de symétrie et la nature du vide lui-même.
Cette leçon s'appuie sur la mécanique quantique (leçons 6-11), la physique statistique (leçons 21-25) et la théorie des bandes (leçon 68). La théorie BCS de la supraconductivité est l'un des grands triomphes de la physique quantique à N corps, et les concepts qu'elle a introduits, notamment la brisure spontanée de symétrie d'une symétrie de jauge, ont été adaptés par les physiciens des particules pour construire le mécanisme de Higgs.
Ce qui rend la supraconductivité remarquable
La supraconductivité n'est pas simplement une "très bonne" conductivité. C'est un état de la matière qualitativement différent : un état quantique macroscopique dans lequel les électrons forment des paires liées (paires de Cooper) qui se condensent en un seul état quantique décrit par une fonction d'onde unique avec une phase bien définie. Cette cohérence s'étend sur des distances macroscopiques, produisant une résistance nulle et un diamagnétisme parfait, deux propriétés sans explication classique.
Découverte et phénoménologie
Résistance nulle
Dans un métal normal, la résistance provient de la diffusion des électrons par les vibrations du réseau (phonons) et les impuretés. Quand la température diminue, la résistance d'un métal diminue mais reste finie, limitée par la diffusion sur les impuretés. Un supraconducteur se comporte de façon complètement différente : en dessous d'une température critique $T_c$, la résistance chute brusquement à zéro.
Ce n'est pas une limitation de mesure. Des courants persistants ont été observés dans des anneaux supraconducteurs pendant des années sans décroissance mesurable. La borne supérieure de la résistivité d'un supraconducteur est $\rho < 10^{-25}$ $\Omega$m, au moins 17 ordres de grandeur plus petite que celle du meilleur conducteur normal (le cuivre à basse température).
L'effet Meissner
En 1933, Meissner et Ochsenfeld découvrirent quelque chose d'encore plus frappant que la résistance nulle : un supraconducteur expulse activement les champs magnétiques de son intérieur. Quand un matériau est refroidi en dessous de $T_c$ en présence d'un champ magnétique, le champ est éjecté. C'est l'effet Meissner.
Au-delà de la conductivité parfaite
L'effet Meissner prouve qu'un supraconducteur n'est pas simplement un conducteur parfait ($\rho = 0$). Un conducteur parfait piégerait le flux magnétique présent au moment où il est devenu conducteur ; il résisterait aux changements de flux. Un supraconducteur va plus loin : il expulse activement le flux qui était déjà présent. Cela signifie que l'état supraconducteur est un véritable état d'équilibre thermodynamique, pas simplement un état métastable à résistance nulle.
Mathématiquement, l'effet Meissner signifie $\mathbf{B} = 0$ à l'intérieur d'un supraconducteur. Le champ magnétique ne pénètre que sur une fine couche superficielle d'épaisseur $\lambda_L$ (la longueur de pénétration de London), typiquement 20 à 200 nm.
Les équations de London
Fritz et Heinz London proposèrent la première description phénoménologique de la supraconductivité en 1935. Leurs équations modifient l'électrodynamique classique pour capturer la résistance nulle et l'effet Meissner.
Les équations de London
Première équation de London (résistance nulle) : Le supracourant $\mathbf{J}_s$ accélère sans friction dans un champ électrique :
$$\frac{\partial \mathbf{J}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}$$Cela remplace la loi d'Ohm $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$ : au lieu d'un courant résistif proportionnel à $E$, le courant accélère sous l'effet de $E$ (comme des particules libres sans diffusion).
Deuxième équation de London (effet Meissner) : En prenant le rotationnel et en utilisant la loi de Faraday :
$$\nabla \times \mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^2}{m}\mathbf{B}$$Écrantage du champ magnétique : En combinant avec la loi d'Ampère $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}_s$, on obtient :
$$\nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda_L^2}\mathbf{B}, \quad \lambda_L = \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_s e^2}}$$Décroissance exponentielle : Pour une surface plane, la solution est $B(x) = B_0 e^{-x/\lambda_L}$. Le champ décroît exponentiellement dans le supraconducteur avec une longueur caractéristique $\lambda_L$, la longueur de pénétration de London.
Paires de Cooper et théorie BCS
L'instabilité de Cooper
La théorie microscopique de la supraconductivité fut développée par Bardeen, Cooper et Schrieffer (BCS) en 1957, leur valant le prix Nobel en 1972. L'idée clé vint de Leon Cooper, qui montra que la mer de Fermi des électrons est instable vis-à-vis de la formation de paires liées dès qu'il existe une interaction attractive, aussi faible soit-elle.
D'où vient l'attraction ?
Les électrons se repoussent par l'interaction de Coulomb. Mais dans un cristal, il existe une seconde interaction, indirecte, médiée par les phonons (vibrations du réseau). Un électron se déplaçant dans le réseau attire les ions positifs voisins, créant une région locale de densité de charge positive. Un second électron est attiré vers cette région. L'effet net est une interaction attractive entre les deux électrons, mais elle est retardée : la distorsion du réseau persiste assez longtemps pour que le premier électron s'éloigne avant que le second n'arrive. Le temps de réponse du réseau ($\sim 10^{-13}$ s) est bien plus lent que le temps de transit de l'électron ($\sim 10^{-16}$ s).
Cooper montra que deux électrons de moments opposés ($\mathbf{k}$ et $-\mathbf{k}$) et de spins opposés ($\uparrow$ et $\downarrow$) proches de la surface de Fermi forment toujours un état lié, quelle que soit la faiblesse de l'attraction. C'est la paire de Cooper.
L'état fondamental BCS
L'état fondamental BCS est une superposition cohérente d'états de paires de Cooper :
où $|u_{\mathbf{k}}|^2 + |v_{\mathbf{k}}|^2 = 1$, et $|v_{\mathbf{k}}|^2$ est la probabilité que l'état de paire $(\mathbf{k}\uparrow, -\mathbf{k}\downarrow)$ soit occupé. Ce n'est pas un simple produit d'états de paires indépendants : c'est un état fortement intriqué dans lequel le nombre de paires n'est pas fixé. L'état BCS brise spontanément la symétrie de jauge $U(1)$ associée à la conservation de la charge.
Le gap d'énergie
La théorie BCS prédit un gap d'énergie $\Delta$ dans le spectre d'excitation : briser une paire de Cooper coûte au moins $2\Delta$ d'énergie. À température nulle :
où $\omega_D$ est la fréquence de Debye, $N(0)$ la densité d'états au niveau de Fermi et $V$ l'intensité de l'interaction d'appariement. Le gap diminue quand la température augmente et s'annule à $T_c$ :
La théorie BCS donne aussi la célèbre relation entre le gap et la température critique :
Cette prédiction est bien confirmée expérimentalement pour les supraconducteurs conventionnels.
Connexion : brisure de symétrie et mécanisme de Higgs
L'état fondamental BCS brise une symétrie de jauge $U(1)$ : la phase du paramètre d'ordre supraconducteur $\Delta = |\Delta|e^{i\phi}$ est spontanément choisie. C'est précisément le mécanisme que Nambu, Anderson et Higgs ont ensuite adapté à la physique des particules. Dans le Modèle Standard (leçon 37), le champ de Higgs joue le rôle du paramètre d'ordre supraconducteur, et la masse des bosons W et Z est analogue au photon acquérant une masse effective à l'intérieur d'un supraconducteur (ce qui produit l'effet Meissner et la longueur de pénétration de London).
Supraconducteurs de type I et de type II
La réponse d'un supraconducteur à un champ magnétique appliqué définit deux types fondamentalement différents.
Deux types de supraconducteurs
Type I : La supraconductivité est détruite brusquement à un seul champ critique $H_c$. En dessous de $H_c$, l'effet Meissner est complet ($B = 0$ à l'intérieur). Au-dessus de $H_c$, le matériau redevient entièrement normal. La plupart des supraconducteurs élémentaires (mercure, plomb, étain) sont de type I. Leurs valeurs de $T_c$ sont basses (inférieures à 10 K).
Type II : Il y a deux champs critiques. En dessous de $H_{c1}$, l'effet Meissner est complet. Entre $H_{c1}$ et $H_{c2}$, le flux magnétique pénètre sous forme de vortex quantifiés (l'"état mixte" ou "état de vortex"). Au-dessus de $H_{c2}$, la supraconductivité est détruite. Les supraconducteurs de type II incluent la plupart des alliages, tous les matériaux à haut $T_c$ et tous les supraconducteurs utilisés en technologie. $H_{c2}$ peut être extrêmement grand (100 T ou plus).
La distinction est déterminée par le paramètre de Ginzburg-Landau $\kappa = \lambda_L / \xi$, où $\xi$ est la longueur de cohérence (la taille d'une paire de Cooper). Type I : $\kappa < 1/\sqrt{2}$ ; Type II : $\kappa > 1/\sqrt{2}$.
Quantification du flux et effet Josephson
Quantification du flux
Le flux magnétique à travers un anneau supraconducteur est quantifié en unités du quantum de flux :
Le facteur $2e$ (et non $e$) au dénominateur fut l'une des premières confirmations expérimentales que les porteurs supraconducteurs ont une charge $2e$, c'est-à-dire qu'ils sont des paires de Cooper. Chaque vortex dans un supraconducteur de type II transporte exactement un quantum de flux.
L'effet Josephson
Quand deux supraconducteurs sont séparés par une fine barrière isolante (une jonction Josephson), les paires de Cooper peuvent passer par effet tunnel à travers la barrière. Brian Josephson prédit ce phénomène en 1962 (prix Nobel 1973).
Effets Josephson
Effet Josephson continu (DC) : Un supracourant circule à travers la jonction même sans tension, proportionnel au sinus de la différence de phase :
$$I = I_c \sin(\phi_1 - \phi_2)$$Effet Josephson alternatif (AC) : Quand une tension constante $V$ est appliquée aux bornes de la jonction, la différence de phase évolue linéairement dans le temps, produisant un courant oscillant à la fréquence :
$$f = \frac{2eV}{h}$$Cette relation fréquence-tension est si précise qu'elle est utilisée pour définir le volt à partir des constantes fondamentales.
Supraconducteurs à haute température
En 1986, Bednorz et Mueller découvrirent la supraconductivité à 35 K dans une céramique d'oxyde de cuivre (cuprate), brisant la croyance dominante selon laquelle la théorie BCS fixait une limite supérieure d'environ 30 K pour $T_c$. En un an, $T_c$ avait été poussé au-dessus de 90 K dans YBa$_2$Cu$_3$O$_{7-\delta}$ (YBCO), au-dessus du point d'ébullition de l'azote liquide (77 K), transformant les perspectives pratiques de la technologie supraconductrice.
Le plus haut $T_c$ confirmé à pression ambiante est d'environ 135 K dans les cuprates à base de mercure. Sous pressions extrêmes, des composés riches en hydrogène (comme LaH$_{10}$) ont montré une supraconductivité proche de la température ambiante (environ 250 K à 170 GPa), mais ces pressions sont impraticables pour les applications.
Le grand problème non résolu
Malgré près de quatre décennies de recherche intensive, il n'existe aucune théorie microscopique acceptée de la supraconductivité à haute température dans les cuprates. La théorie BCS dans sa forme standard ne peut pas expliquer des valeurs de $T_c$ supérieures à environ 30 K. Les cuprates sont des systèmes d'électrons fortement corrélés où les outils standard de la théorie des perturbations s'effondrent. Comprendre ces matériaux reste l'un des plus grands problèmes ouverts de la physique de la matière condensée. Les mécanismes proposés incluent les fluctuations de spin antiferromagnétiques, les états de liaisons de valence résonantes et diverses formes de comportement non liquide de Fermi.
Applications
La supraconductivité a permis des technologies impossibles avec des conducteurs normaux :
- IRM (Imagerie par Résonance Magnétique) : Les champs magnétiques intenses et stables nécessaires pour l'IRM (typiquement 1,5 à 7 T) sont générés par des aimants supraconducteurs en fils de NbTi ou Nb$_3$Sn. Sans supraconducteurs, la consommation d'énergie serait prohibitive.
- Accélérateurs de particules : Le LHC au CERN utilise 1 232 aimants dipolaires supraconducteurs refroidis à 1,9 K pour courber les faisceaux de protons autour de l'anneau de 27 km.
- SQUIDs (Dispositifs Supraconducteurs à Interférence Quantique) : Basés sur deux jonctions Josephson dans une boucle, les SQUIDs sont les magnétomètres les plus sensibles jamais construits, capables de détecter des champs aussi faibles que $10^{-15}$ T. Ils sont utilisés en imagerie cérébrale, prospection géologique et physique fondamentale.
- Trains à lévitation magnétique : Les aimants supraconducteurs fournissent les champs intenses nécessaires à la lévitation magnétique, permettant des trains qui flottent au-dessus de la voie pratiquement sans friction.
- Informatique quantique : Les circuits supraconducteurs, en particulier les qubits transmon basés sur des jonctions Josephson, sont la plateforme dominante pour l'informatique quantique. Les entreprises construisant les processeurs quantiques les plus avancés (IBM, Google) utilisent la technologie supraconductrice.
Connexion : supraconducteurs topologiques
L'intersection de la supraconductivité et de la topologie (leçon 70) est l'un des domaines les plus actifs de la physique moderne. Les supraconducteurs topologiques sont prédits comme hébergeant des fermions de Majorana à leurs frontières : des quasi-particules exotiques qui sont leurs propres antiparticules. Ces modes de Majorana pourraient servir de base à l'informatique quantique topologique, qui serait intrinsèquement protégée contre la décohérence.
Exercices
- Longueur de pénétration de London : Estimez $\lambda_L$ pour l'aluminium, qui a une densité de porteurs supraconducteurs $n_s \approx 1{,}8 \times 10^{29}$ m$^{-3}$. Utilisez $m = 2m_e$ (masse de la paire de Cooper) et $e \to 2e$ (charge de la paire de Cooper). Comment cette valeur se compare-t-elle à la longueur d'onde de la lumière visible ?
- Équation du gap BCS : Pour l'aluminium, $T_c = 1{,}2$ K. En utilisant la relation BCS $2\Delta(0) = 3{,}53 k_B T_c$, calculez le gap à température nulle $\Delta(0)$ en eV. Quelle longueur d'onde de photon serait nécessaire pour briser une paire de Cooper ?
- Quantification du flux : Un anneau supraconducteur a une aire de 1 cm$^2$. Quel est le champ magnétique maximal $B$ pour lequel l'anneau contient exactement un quantum de flux ? Exprimez votre réponse en teslas et comparez au champ magnétique terrestre ($\sim 50$ $\mu$T).
- Effet Josephson AC : Une jonction Josephson est polarisée à $V = 10$ $\mu$V. Calculez la fréquence du supracourant alternatif. Dans quelle partie du spectre électromagnétique se situe cette fréquence ?
- Champ critique : Un supraconducteur de type I a un champ critique $H_c(0) = 0{,}08$ T à $T = 0$. La dépendance en température est approximativement $H_c(T) = H_c(0)[1 - (T/T_c)^2]$, avec $T_c = 7{,}2$ K. À quelle température le champ critique tombe-t-il à la moitié de sa valeur à température nulle ?
- Les supraconducteurs présentent une résistance électrique nulle et l'effet Meissner (expulsion du flux magnétique), ce dernier prouvant que la supraconductivité est un véritable état thermodynamique, pas simplement une conduction parfaite.
- Les équations de London décrivent la réponse électromagnétique de manière phénoménologique : les champs magnétiques décroissent exponentiellement dans un supraconducteur avec une longueur de pénétration $\lambda_L$.
- La théorie BCS explique la supraconductivité par l'appariement de Cooper : une attraction médiée par les phonons lie les électrons en paires qui se condensent en un état quantique macroscopique avec un gap d'énergie $\Delta$.
- Les supraconducteurs de type I ont un seul champ critique ; les supraconducteurs de type II ont un état de vortex entre $H_{c1}$ et $H_{c2}$ où des tubes de flux quantifiés pénètrent le matériau.
- La quantification du flux ($\Phi_0 = h/2e$) et l'effet Josephson sont des manifestations macroscopiques directes de la cohérence quantique ; ils confirment la nature de paire de Cooper des porteurs supraconducteurs.
- La supraconductivité à haute température dans les cuprates reste inexpliquée par la théorie BCS et constitue l'un des grands problèmes ouverts de la physique ; les applications incluent l'IRM, les accélérateurs, les SQUIDs, la lévitation magnétique et l'informatique quantique.