Statistique Quantique
La mécanique statistique classique traite les particules comme distinguables. La mécanique quantique change tout. Les particules identiques sont véritablement indiscernables, ce qui conduit à deux types radicalement différents de statistiques, avec des conséquences allant de la stabilité de la matière au rayonnement du fond diffus cosmologique.
Qu'est-ce que le spin d'une particule ?
Le spin est une propriété intrinsèque des particules, un peu comme une rotation interne qui ne s'arrête jamais. Contrairement à une toupie, le spin ne correspond pas à un mouvement physique visible : c'est une propriété purement quantique. Il se mesure en multiples de $\hbar/2$. Les particules à spin entier (0, 1, 2...) s'appellent des bosons ; celles à spin demi-entier (1/2, 3/2...) s'appellent des fermions. Cette distinction détermine leur comportement collectif de manière radicale.
La Division Quantique
En trois dimensions spatiales, les particules élémentaires et composites se répartissent en deux classes selon leur spin :
- Bosons (spin entier : 0, 1, 2, ...) : n'importe quel nombre peut occuper le même état quantique
- Fermions (spin demi-entier : 1/2, 3/2, ...) : au plus une particule par état quantique (exclusion de Pauli)
C'est le théorème spin-statistique, l'un des résultats les plus profonds de la théorie quantique des champs.
Les Fonctions de Distribution
Fonctions de Distribution Quantiques
Bose-Einstein (bosons) :
$$\langle n_i \rangle_{\text{BE}} = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i - \mu)} - 1}$$Fermi-Dirac (fermions) :
$$\langle n_i \rangle_{\text{FD}} = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i - \mu)} + 1}$$Maxwell-Boltzmann (limite classique) :
$$\langle n_i \rangle_{\text{MB}} = e^{-\beta(\epsilon_i - \mu)}$$La seule différence est $-1$ contre $+1$ au dénominateur, pourtant ce changement de signe produit des physiques complètement différentes.
Condensation de Bose-Einstein
En dessous d'une température critique $T_c$, un nombre macroscopique de bosons s'effondre dans l'état fondamental. C'est la condensation de Bose-Einstein (BEC), prédite en 1924-25 et observée expérimentalement en 1995 par Cornell, Wieman et Ketterle.
Le Gaz de Fermi
L'énergie de Fermi et la pression de dégénérescence
Puisque les fermions ne peuvent pas partager le même état quantique, ils sont forcés de s'empiler dans des états d'énergie de plus en plus élevée, comme des spectateurs qui remplissent les gradins d'un stade rangée par rangée. L'énergie du dernier état occupé s'appelle l'énergie de Fermi. Cette accumulation crée une pression appelée pression de dégénérescence, qui résiste à la compression même à température nulle.
À température nulle, les fermions remplissent tous les états jusqu'à l'énergie de Fermi $E_F$. La pression de dégénérescence de Fermi soutient les étoiles mortes. Les naines blanches sont soutenues par la pression de dégénérescence électronique (limite de Chandrasekhar $\sim 1{,}4 M_\odot$). Les étoiles à neutrons sont soutenues par la pression de dégénérescence neutronique.
Rayonnement du Corps Noir et Loi de Planck
Loi de Rayonnement de Planck
$$u(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}$$Cette formule, dérivée par Planck en 1900, a lancé la révolution quantique. Elle a résolu la catastrophe ultraviolette et décrit correctement le spectre du rayonnement thermique.
Phonons et le Modèle de Debye
Les vibrations du réseau dans un solide peuvent être quantifiées en phonons : des bosons avec $\mu = 0$, comme les photons. Le modèle de Debye donne $C_V \propto T^3$ à basse température, en excellent accord avec l'expérience.
- Les particules quantiques identiques sont fondamentalement indiscernables, conduisant aux statistiques de Bose-Einstein ou Fermi-Dirac selon le spin
- Les bosons peuvent s'accumuler dans un seul état ; les fermions sont limités à un par état
- La condensation de Bose-Einstein est une transition de phase où un nombre macroscopique de bosons occupent l'état fondamental
- La pression de dégénérescence de Fermi soutient les naines blanches et les étoiles à neutrons
- La loi du corps noir de Planck découle de la statistique de Bose-Einstein appliquée aux photons
- La limite classique s'applique quand la longueur d'onde thermique de de Broglie est bien inférieure à l'espacement inter-particules