Équations de Champ d'Einstein
Ayant développé le langage mathématique de la géométrie différentielle, nous arrivons maintenant au joyau de la physique classique : les équations de champ d'Einstein. Ces dix équations aux dérivées partielles couplées et non linéaires relient la courbure de l'espace-temps à la distribution de matière et d'énergie. Elles encodent une idée révolutionnaire : la gravité n'est pas une force agissant à distance, mais une manifestation de la géométrie courbe.
La vision d'Einstein
La matière dit à l'espace-temps comment se courber. L'espace-temps dit à la matière comment se déplacer. Les équations de champ sont l'expression mathématique précise de cette relation bidirectionnelle.
Le principe d'équivalence
Le chemin d'Einstein vers la relativité générale a commencé avec une observation d'une simplicité trompeuse : dans un ascenseur en chute libre, on se sent en apesanteur. Localement, la gravité est indistinguable de l'accélération. C'est le principe d'équivalence, qui existe sous plusieurs formes.
Principe d'équivalence faible
La trajectoire d'un corps en chute libre dépend uniquement de sa position et de sa vitesse initiales, pas de sa composition. C'est l'universalité de la chute libre, testée avec une précision extraordinaire (une partie sur $10^{15}$). En termes newtoniens, cela signifie que la masse gravitationnelle est égale à la masse inertielle.
Principe d'équivalence d'Einstein
Le résultat de toute expérience locale non gravitationnelle dans un laboratoire en chute libre est indépendant de la vitesse et de la position du laboratoire dans un champ gravitationnel. Cela signifie que dans une région suffisamment petite, les lois de la physique se réduisent à celles de la relativité restreinte.
Principe d'équivalence fort
La même chose s'applique même aux expériences gravitationnelles. C'est la forme la plus restrictive, satisfaite par la relativité générale mais pas par la plupart des théories alternatives de la gravité.
Le principe d'équivalence nous dit que la gravité peut être "éliminée" localement en choisissant un référentiel en chute libre. Mais elle ne peut pas être éliminée globalement s'il y a une véritable courbure. Les forces de marée subsistent. C'est l'indice que la gravité est de la géométrie.
La gravité comme géométrie
Considérons deux particules en chute libre près de la Terre. Si elles partent à la même hauteur mais séparées horizontalement, elles tombent toutes deux vers le centre de la Terre, donc elles convergent. Si elles partent à la même position horizontale mais à des hauteurs différentes, la plus basse accélère plus vite, donc elles divergent. Ces effets de marée sont la signature de la véritable gravité : ils ne peuvent être supprimés par aucune transformation de coordonnées.
Dans le cadre géométrique, les deux particules suivent des géodésiques. La convergence ou la divergence de géodésiques voisines est gouvernée par le tenseur de courbure de Riemann à travers l'équation de déviation géodésique :
$$\frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = -R^\mu{}_{\nu\alpha\beta} u^\nu \xi^\alpha u^\beta$$où $\xi^\mu$ est le vecteur de séparation entre des géodésiques voisines et $u^\mu$ est la 4-vitesse. Les forces de marée sont la courbure.
Le tenseur d'Einstein
Nous avons besoin d'une équation tensorielle qui relie la courbure (géométrie) à la matière (physique). Du côté géométrique, nous avons besoin d'un tenseur symétrique de type $(0,2)$ construit à partir de la métrique. Le candidat naturel est formé à partir du tenseur de Ricci et du scalaire :
Le tenseur d'Einstein
$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R$$Ce tenseur a une propriété cruciale : il est à divergence nulle, $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$, comme conséquence de l'identité de Bianchi. Cela assure la cohérence avec la conservation de l'énergie-impulsion.
L'identité de Bianchi est un résultat purement géométrique : $\nabla_{[\lambda} R_{\rho\sigma]\mu\nu} = 0$. Contractée, elle donne $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$. Ce n'est pas une hypothèse physique. C'est un théorème mathématique sur le tenseur de Riemann. Mais cela a des conséquences physiques profondes : cela garantit que la source de la gravité (matière et énergie) est automatiquement conservée.
Le tenseur énergie-impulsion
Qu'est-ce que le tenseur énergie-impulsion ?
Le tenseur énergie-impulsion est le "registre" complet de toute la matière et l'énergie présente en chaque point de l'espace-temps. Il indique non seulement combien d'énergie se trouve en un point, mais aussi dans quelle direction elle se déplace et quelles pressions elle exerce. C'est la source de la gravité dans la théorie d'Einstein : c'est ce tenseur qui dit à l'espace-temps comment se courber.
Du côté matière de l'équation, nous avons besoin du tenseur énergie-impulsion $T_{\mu\nu}$, qui encode la densité et le flux d'énergie et d'impulsion.
Pour un fluide parfait avec une densité d'énergie $\rho$, une pression $p$, et une 4-vitesse $u^\mu$ :
$$T_{\mu\nu} = (\rho + p) u_\mu u_\nu + p \, g_{\mu\nu}$$Les composantes ont des significations physiques claires :
- $T_{00}$ = densité d'énergie
- $T_{0i}$ = flux d'énergie = densité d'impulsion
- $T_{ij}$ = contraintes (pression et cisaillement)
La conservation de l'énergie et de l'impulsion s'exprime comme $\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0$, ce qui est cohérent avec $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ précisément parce que les équations d'Einstein relient les deux tenseurs.
Les équations de champ d'Einstein
Équations d'Einstein
$$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$Ou de manière équivalente :
$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$Dix équations aux dérivées partielles couplées et non linéaires pour la métrique $g_{\mu\nu}$.
La constante $\frac{8\pi G}{c^4}$ est fixée en exigeant que les équations se réduisent à la gravité newtonienne dans la limite appropriée. La constante cosmologique $\Lambda$ a été introduite par Einstein en 1917 pour permettre un univers statique ; il l'a plus tard qualifiée de "plus grande erreur". Nous savons maintenant qu'elle décrit l'expansion accélérée de l'univers et est associée à l'énergie sombre.
Ces équations sont bien plus qu'une mise à niveau relativiste de la loi de Newton. Elles sont non linéaires : la gravité gravite. L'énergie du champ gravitationnel lui-même contribue à la courbure. Cette non-linéarité rend les solutions exactes rares et précieuses.
La constante cosmologique
Le terme $\Lambda g_{\mu\nu}$ peut être déplacé du côté droit et interprété comme une contribution au tenseur énergie-impulsion :
$$T^{\Lambda}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} g_{\mu\nu}$$Cela correspond à un fluide parfait avec une équation d'état $p = -\rho c^2$ : une pression négative ! Un $\Lambda$ positif agit comme une "antigravité" répulsive aux grandes échelles. Observationnellement, $\Lambda \approx 1.1 \times 10^{-52}$ m$^{-2}$, minuscule, mais suffisant pour dominer le bilan énergétique de l'univers aujourd'hui.
La limite newtonienne
Pour que la théorie d'Einstein soit correcte, elle doit se réduire à celle de Newton dans le régime de gravité faible et de mouvement lent. Considérons un champ gravitationnel faible et statique : $g_{\mu\nu} \approx \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ avec $|h_{\mu\nu}| \ll 1$. Pour une particule se déplaçant lentement ($v \ll c$), l'équation des géodésiques se réduit à :
$$\frac{d^2 x^i}{dt^2} \approx -\frac{c^2}{2} \partial_i h_{00}$$En comparant avec la loi de Newton $\ddot{x}^i = -\partial_i \Phi$, on identifie $h_{00} = -2\Phi/c^2$. Les équations d'Einstein se réduisent alors à l'équation de Poisson :
$$\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho$$La gravité de Newton est la limite de champ faible et de mouvement lent de la géométrie d'Einstein.
L'action d'Einstein-Hilbert
Comme partout en physique, les équations de champ peuvent être dérivées d'un principe variationnel. L'action pour la relativité générale est :
Action d'Einstein-Hilbert
$$S = \frac{c^4}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_{\text{matière}}$$Varier cette action par rapport à la métrique $g^{\mu\nu}$ donne les équations de champ d'Einstein. Le principe de moindre action, qui a commencé notre voyage dans la leçon 1.1, gouverne la gravité elle-même.
Le facteur $\sqrt{-g}$ (où $g = \det(g_{\mu\nu})$) assure que la mesure d'intégration est invariante par changement de coordonnées. Le scalaire de Ricci $R$ est le plus simple scalaire qui puisse être construit à partir de la métrique et de ses deux premières dérivées. C'est l'action gravitationnelle la plus économique, le choix unique (aux termes topologiques près) donnant des équations de champ du second ordre.
Compter les degrés de liberté
La métrique $g_{\mu\nu}$ est une matrice symétrique $4 \times 4$, elle a donc 10 composantes indépendantes. Les équations d'Einstein fournissent 10 équations. Mais 4 d'entre elles sont des équations de contrainte (dues à $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$), et nous avons 4 degrés de liberté de jauge (choix de coordonnées). Donc le contenu dynamique réel est $10 - 4 - 4 = 2$ degrés de liberté. Ceux-ci correspondent aux deux polarisations des ondes gravitationnelles, une prédiction que nous explorerons dans la leçon 6.5.
Points Clés
- Le principe d'équivalence (l'universalité de la chute libre) implique que la gravité est une propriété de l'espace-temps lui-même, pas une force
- Le tenseur d'Einstein $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$ est l'unique tenseur symétrique à divergence nulle construit à partir de la métrique et de ses deux premières dérivées
- Les équations de champ $G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ sont non linéaires : la gravité gravite elle-même
- La constante cosmologique $\Lambda$ agit comme une énergie répulsive perméant tout l'espace
- Dans la limite de champ faible et de mouvement lent, les équations d'Einstein se réduisent à la loi de gravitation de Newton
- Les équations découlent de l'action d'Einstein-Hilbert via le principe variationnel
- Le contenu dynamique réel est de deux degrés de liberté : les deux polarisations des ondes gravitationnelles
Perspectives
Avec les équations de champ en main, nous pouvons commencer à les résoudre. La première et la plus importante solution exacte a été trouvée par Karl Schwarzschild en 1916, quelques mois seulement après la publication de sa théorie par Einstein. La solution de Schwarzschild décrit l'espace-temps autour d'une masse à symétrie sphérique et prédit le décalage vers le rouge gravitationnel, la précession orbitale et la déviation de la lumière, tous confirmés par l'observation.