Leçon 1.3 · 1. Fondements

Symétries & Conservation

Cette leçon contient l'un des plus beaux résultats de toute la physique : le théorème de Noether. Il révèle un lien profond entre symétrie et lois de conservation, un lien qui traverse toute la physique moderne.

Qu'est-ce qu'une symétrie en physique ?

Dans la vie courante, « symétrie » fait penser à un visage identique des deux côtés, ou à un flocon de neige que l'on peut tourner. En physique, le sens est plus large : une symétrie est une transformation (un déplacement, une rotation, un décalage dans le temps...) qui laisse les lois de la physique inchangées. Si vous refaites la même expérience après cette transformation et que le résultat est identique, vous avez trouvé une symétrie.

Qu'est-ce qu'une quantité conservée ?

Une quantité conservée est une grandeur physique qui reste constante au cours du temps. Par exemple, si vous lancez une balle dans le vide (sans frottement, sans force extérieure), sa vitesse ne change jamais : sa quantité de mouvement est conservée. Trouver des quantités conservées est très utile, car cela simplifie énormément la résolution des problèmes de physique.

L'idée fondamentale

Vous connaissez déjà certaines lois de conservation :

L'énergie est conservée
La quantité de mouvement est conservée
Le moment cinétique est conservé

Mais pourquoi ? D'où viennent ces lois ? Sont-elles des faits séparés, ou liés ?

Emmy Noether a répondu en 1918 :

Théorème de Noether

Toute symétrie continue de l'action correspond à une quantité conservée. Autrement dit, chaque fois que les lois de la physique restent inchangées sous une certaine transformation (une symétrie), il existe automatiquement une grandeur physique qui ne varie pas au cours du temps (une loi de conservation). Ce théorème unifie des lois qui semblaient indépendantes en les rattachant toutes à un même principe.

Les lois de conservation ne sont pas des accidents. Ce sont des conséquences des symétries des lois de la physique :

Chaque symétrie de la physique engendre une loi de conservation.

Qu'est-ce qu'une symétrie ?

Une symétrie est une transformation qui laisse quelque chose inchangé.

En physique, on s'intéresse aux symétries de l'action. Si on transforme les coordonnées d'une certaine manière et que l'action ne change pas, on a une symétrie.

Symétrie de translation temporelle

Qu'est-ce que l'invariance par translation ?

« Translation » signifie simplement « déplacement ». L'invariance par translation, c'est l'idée que si vous déplacez tout le système (dans le temps ou dans l'espace), les lois de la physique restent les mêmes. Pour la translation temporelle : les règles du jeu ne changent pas selon le jour où vous jouez. Pour la translation spatiale : les règles ne changent pas selon l'endroit où vous vous trouvez.

Si je fais une expérience aujourd'hui ou demain, j'obtiens les mêmes résultats. Les lois de la physique ne dépendent pas du moment où l'on se trouve.

Mathématiquement : si on décale le temps d'une constante $\epsilon$

t \to t + \epsilon

et que le lagrangien ne dépend pas explicitement de $t$, alors l'action est inchangée.

Symétrie de translation spatiale

Si je fais une expérience ici ou 10 mètres plus à gauche, j'obtiens les mêmes résultats. Les lois ne dépendent pas de l'endroit où l'on se trouve.

x \to x + \epsilon

Symétrie de rotation

Si je tourne mon appareil, la physique fonctionne de la même façon. Les lois ne dépendent pas de la direction dans laquelle on regarde.

\theta \to \theta + \epsilon

Démonstration du théorème de Noether

Prouvons ce lien. Considérons une transformation continue des coordonnées :

q \to q + \epsilon \, \delta q

où $\epsilon$ est infinitésimal et $\delta q$ décrit le type de transformation.

Étape 1 : Variation du lagrangien

Sous cette transformation :

$$ \delta L = \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} $$

Étape 2 : Utiliser l'équation d'Euler-Lagrange

On sait que $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, donc :

$$ \delta L = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \delta \dot{q} $$

Étape 3 : Reconnaître une dérivée totale

C'est simplement la règle du produit :

$$ \delta L = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) $$

Étape 4 : Si l'action est symétrique

Si la transformation est une symétrie, alors $\delta L = 0$ (ou $\delta L = \frac{d}{dt}(\text{quelque chose})$, ce qui n'affecte pas les équations du mouvement). Par conséquent :

$$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) = 0 $$

Étape 5 : La quantité conservée

Si la dérivée temporelle est nulle, la quantité est constante :

$$ Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q = \text{constante} $$

Ce $Q$ est la charge conservée associée à la symétrie.

Les trois grandes lois de conservation

L'énergie issue de la symétrie temporelle

Si $L$ ne dépend pas explicitement du temps, considérons la quantité :

H = \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - L

En prenant sa dérivée temporelle et en utilisant Euler-Lagrange :

\frac{dH}{dt} = \dot{q} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \ddot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}\dot{q} - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\ddot{q} - \frac{\partial L}{\partial t}

Les termes du milieu s'annulent. En utilisant Euler-Lagrange sur les premier et troisième termes :

\frac{dH}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t}

Si $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ (symétrie de translation temporelle), alors $H$ est conservé.

Pour $L = T - V = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)$ :

H = \dot{q}(m\dot{q}) - \left(\frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V\right) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V = T + V = E

Conservation de l'énergie

Si la physique est la même aujourd'hui et demain (symétrie de translation temporelle), alors l'énergie est conservée.

La quantité de mouvement issue de la symétrie spatiale

Si $L$ ne dépend pas de la position $x$ (seulement de $\dot{x}$), alors :

\frac{\partial L}{\partial x} = 0

L'équation d'Euler-Lagrange donne :

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

Donc $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$ est conservé.

Qu'est-ce que la quantité de mouvement (impulsion) ?

La quantité de mouvement, aussi appelée impulsion, mesure la « quantité de mouvement » d'un objet. Pour un objet de masse $m$ se déplaçant à la vitesse $v$, elle vaut $p = mv$. Un camion roulant lentement et une balle de fusil rapide peuvent avoir la même quantité de mouvement. Plus précisément, dans le formalisme lagrangien, le moment conjugué est défini comme $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, ce qui redonne $p = mv$ dans les cas simples.

Conservation de la quantité de mouvement

Si la physique est la même ici et là-bas (symétrie de translation spatiale), alors la quantité de mouvement est conservée.

Le moment cinétique issu de la symétrie de rotation

Pour un système avec symétrie de rotation (force centrale), le lagrangien en coordonnées polaires est :

L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)

Remarque : $L$ ne dépend pas de $\theta$, seulement de $r$. C'est la symétrie de rotation : la physique ne change pas si on tourne le système.

Puisque $\frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$ :

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 0

Donc $L_z = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}$ est conservé.

Conservation du moment cinétique

Si la physique est la même dans toutes les directions (symétrie de rotation), alors le moment cinétique est conservé.

La signification profonde

Le théorème de Noether dit que les lois de conservation ne sont pas des faits séparés à mémoriser. Ce sont toutes des manifestations de la symétrie.

Cela va bien au-delà de la mécanique classique :

La conservation de la charge électrique provient d'une symétrie appelée invariance de jauge $U(1)$
La conservation de la charge de couleur (quarks) provient de l'invariance de jauge $SU(3)$
Le nombre leptonique, le nombre baryonique : plus de symétries, plus de lois de conservation

L'ensemble du Modèle Standard de la physique des particules repose sur des principes de symétrie.

Connexion : Symétries brisées

Que se passe-t-il si une symétrie est « brisée » ? Alors la loi de conservation échoue. La symétrie de translation temporelle de l'univers est brisée par l'expansion cosmique, et en effet, l'énergie n'est pas conservée aux échelles cosmologiques. C'est pourquoi le CMB s'est refroidi de 3000 K à 2,7 K depuis le Big Bang.

Coordonnées cycliques

Une coordonnée $q_i$ qui n'apparaît pas dans le lagrangien (seule $\dot{q}_i$ apparaît) est dite cyclique ou ignorable.

Pour une coordonnée cyclique, l'équation d'Euler-Lagrange donne immédiatement :

\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \text{const}

Le moment conjugué d'une coordonnée cyclique est conservé. C'est le théorème de Noether dans sa forme la plus simple.

Exemple : Le problème de Kepler

Une planète en orbite autour du Soleil. En coordonnées polaires :

L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) + \frac{GMm}{r}

(On utilise $+V$ car $V = -GMm/r$ est négatif.)

Symétries :

$\theta$ est cyclique → le moment cinétique $L_z = mr^2\dot{\theta}$ est conservé
Pas de dépendance temporelle explicite → l'énergie $E = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - \frac{GMm}{r}$ est conservée

Ces deux lois de conservation suffisent à résoudre le problème entier, pas besoin de résoudre directement les équations différentielles.

Orbites de Kepler : la conservation du moment cinétique maintient la planète dans un plan.

Exercices

Vérifier la conservation de l'énergie : Pour $L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2$ (oscillateur harmonique), calculez $H = \dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - L$ et vérifiez qu'il est égal à l'énergie totale.
Trouver la quantité conservée : Une perle glisse sur un cerceau en rotation. Le lagrangien est $L = \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mR^2\omega^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$. L'énergie est-elle conservée ? (Indice : $L$ dépend-il explicitement de $t$ ?)
Symétrie de boost : Pour une particule libre, l'action est invariante sous les boosts galiléens $x \to x + vt$. Quelle est la quantité conservée associée ? (Celle-ci est subtile, la quantité conservée implique à la fois la position et la quantité de mouvement.)

Points Clés

Toute symétrie continue a une loi de conservation correspondante (théorème de Noether)
Symétrie temporelle → conservation de l'énergie
Symétrie spatiale → conservation de la quantité de mouvement
Symétrie de rotation → conservation du moment cinétique
Les coordonnées cycliques donnent des moments conjugués conservés
Ce principe s'étend à toute la physique, y compris les symétries de jauge en TQC

← 1.2 Mécanique Lagrangienne 1.4 Mécanique Hamiltonienne →