Mécanique Relativiste
Quantité de mouvement et énergie : les bases
La quantité de mouvement (ou impulsion) mesure la « quantité de mouvement » d'un objet. En physique newtonienne, c'est simplement $p = mv$ (masse fois vitesse). L'énergie cinétique mesure l'énergie liée au mouvement : $K = \frac{1}{2}mv^2$. En relativité, ces deux formules deviennent des approximations valables uniquement à basse vitesse. La quantité de mouvement relativiste $p = \gamma mv$ et l'énergie relativiste $E = \gamma mc^2$ les remplacent, et elles sont liées par la célèbre relation $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$.
Avec le formalisme des 4-vecteurs en main, nous pouvons maintenant construire une mécanique relativiste complète. Les résultats sont saisissants : l'impulsion et l'énergie sont unifiées en un seul 4-vecteur, la masse devient une forme d'énergie, et la simple formule newtonienne $p = mv$ se révèle être une approximation valable uniquement à basse vitesse.
Impulsion relativiste
Impulsion relativiste
$$\mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$Ici $m$ est la masse au repos (ou masse invariante), un scalaire de Lorentz qui est le même dans tous les référentiels. À basse vitesse, $\gamma \approx 1$ et cela se réduit à $m\mathbf{v}$.
Quand $v \to c$, $\gamma \to \infty$, et l'impulsion diverge. Cela signifie qu'aucune force finie ne peut accélérer une particule massive jusqu'à la vitesse de la lumière.
Énergie relativiste
Énergie relativiste
$$E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$C'est l'énergie totale d'une particule libre : énergie de repos plus énergie cinétique. Même au repos ($v = 0$, $\gamma = 1$), une particule a l'énergie $E_0 = mc^2$.
L'énergie cinétique relativiste est :
$$K = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$$Vérifions que cela se réduit au résultat newtonien à basse vitesse. Pour $v \ll c$ : $\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$, donc $K \approx \frac{1}{2}mv^2$.
La relation énergie-impulsion
La relation énergie-impulsion
$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$C'est le « théorème de Pythagore » relativiste. L'énergie, l'impulsion et la masse forment un triangle rectangle dans l'espace énergie-impulsion.
Deux cas particuliers importants :
- Au repos ($p = 0$) : $E = mc^2$, la fameuse équivalence masse-énergie
- Particules sans masse ($m = 0$) : $E = pc$, photons, gravitons
Particules sans masse : les photons
Les photons sont sans masse ($m = 0$), donc leur relation énergie-impulsion est simplement $E = pc$. La 4-impulsion du photon est :
$$p^\mu = \frac{E}{c}(1, \hat{\mathbf{n}})$$où $\hat{\mathbf{n}}$ est le vecteur unitaire dans la direction de propagation. La magnitude invariante est $p^\mu p_\mu = 0$, un vecteur nul.
Conservation de la 4-impulsion
Dans toute collision ou désintégration, la 4-impulsion totale est conservée :
$$\sum_{\text{initial}} p^\mu_i = \sum_{\text{final}} p^\mu_f$$La masse invariante d'un système
Pour un système de particules de 4-impulsion totale $P^\mu = \sum p^\mu_i$, la masse invariante est :
$$M^2c^2 = -P^\mu P_\mu = \frac{E_{\text{tot}}^2}{c^2} - |\mathbf{p}_{\text{tot}}|^2$$Elle est la même dans tous les référentiels et conservée dans tous les processus.
Le référentiel du centre de masse
Qu'est-ce que le référentiel du centre de masse ?
Le référentiel du centre de masse (CM) est le référentiel dans lequel la quantité de mouvement totale du système est nulle. Imaginez deux balles qui se dirigent l'une vers l'autre : dans le référentiel CM, elles approchent avec des impulsions égales et opposées. Ce référentiel simplifie énormément les calculs de collisions, car toute l'énergie disponible peut servir à créer de nouvelles particules, au lieu d'être « gaspillée » à déplacer le système dans son ensemble.
Pour tout système de particules, on peut toujours trouver un référentiel où l'impulsion totale est nulle. C'est le référentiel du centre de masse (CM). Dans ce référentiel, l'énergie totale est $E_{\text{CM}} = Mc^2$.
Collisions relativistes
Exemple : seuil de création de particules
Considérons un faisceau de protons frappant une cible de protons au repos. Quelle est l'énergie minimale du faisceau pour produire une paire proton-antiproton ?
$$p + p \to p + p + p + \bar{p}$$Au seuil, les quatre particules finales sont créées au repos dans le référentiel CM, donc $M_f = 4m_p$. Le calcul donne :
$$E = 7m_p c^2 \approx 6.6 \text{ GeV}$$Pourquoi les collisionneurs battent les cibles fixes
Pour une cible fixe, l'énergie de seuil croît comme $E \propto M_f^2$ car la majeure partie de l'énergie sert à déplacer le référentiel CM. Dans un collisionneur, le laboratoire est le référentiel CM, donc l'énergie de seuil ne croît que comme $E \propto M_f$. C'est pourquoi le LHC utilise des faisceaux en collision.
Diffusion Compton
La diffusion d'un photon sur un électron au repos donne la formule de Compton pour le changement de longueur d'onde :
$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$$La quantité $h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}$ m est la longueur d'onde de Compton de l'électron.
Masse invariante et découverte de particules
La masse invariante est l'outil principal pour découvrir de nouvelles particules dans les expériences d'accélérateurs :
$$M^2 c^4 = \left(\sum E_i\right)^2 - \left|\sum \mathbf{p}_i c\right|^2$$Le boson de Higgs a été découvert en 2012 en trouvant un pic à $125$ GeV dans le spectre de masse invariante de paires de photons.
- L'impulsion relativiste $\mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v}$ diverge quand $v \to c$, faisant de la vitesse de la lumière une limite de vitesse absolue
- L'énergie relativiste totale $E = \gamma mc^2$ inclut l'énergie de repos $mc^2$
- La relation énergie-impulsion $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ est un invariant de Lorentz
- Les particules sans masse ont $E = pc$ et voyagent toujours à $c$
- La conservation de la 4-impulsion unifie la conservation de l'énergie et de l'impulsion en une seule équation
- Le référentiel du centre de masse est le cadre naturel pour analyser les collisions
- Les énergies de seuil croissent comme $M_f^2$ en cible fixe mais seulement comme $M_f$ en collisionneur
- La reconstruction de la masse invariante est la méthode de découverte de nouvelles particules aux collisionneurs