Optique Ondulatoire
Dans les leçons précédentes sur l'électromagnétisme, nous avons établi que la lumière est une onde électromagnétique. Mais que se passe-t-il lorsque la lumière rencontre des obstacles, des fentes ou des films minces ? La nature ondulatoire de la lumière produit des phénomènes qu'aucune théorie corpusculaire ne peut expliquer : l'interférence et la diffraction. Ces effets, invisibles dans la vie quotidienne car la longueur d'onde de la lumière visible est si petite, se révèlent de façon spectaculaire quand on regarde attentivement. L'optique ondulatoire est l'étude de la lumière dans les situations où son caractère ondulatoire ne peut être ignoré.
Principe de Huygens
Chaque point d'un front d'onde est une source
Le principe de Huygens affirme que chaque point d'un front d'onde agit comme une source d'ondelettes sphériques secondaires. Le nouveau front d'onde a un instant ultérieur est l'enveloppe (la surface tangente) de toutes ces ondelettes. Cette construction géométrique, proposée par Christiaan Huygens en 1678, explique la réflexion, la réfraction et la diffraction sans aucune référence aux rayons.
Considérons une onde plane se propageant vers la droite. À l'instant $t$, chaque point du front d'onde émet une ondelette sphérique. Après un intervalle de temps $\Delta t$, chaque ondelette a un rayon $v \Delta t$, où $v$ est la vitesse de l'onde. L'enveloppe de toutes ces ondelettes est un nouveau plan, déplacé de $v \Delta t$ vers la droite. Le principe de Huygens retrouve le résultat trivial qu'une onde plane reste une onde plane en espace libre.
La puissance du principe émerge lorsque le front d'onde rencontre un obstacle ou une ouverture. Seules les portions du front d'onde qui ne sont pas bloquées emettent des ondelettes secondaires, et l'enveloppe résultante n'est plus un simple plan. L'onde contourne les obstacles et s'étale après avoir traversé des ouvertures. C'est la diffraction.
Pourquoi ne remarquons-nous pas la diffraction dans la vie quotidienne ?
La diffraction devient significative lorsque la taille de l'ouverture ou de l'obstacle est comparable à la longueur d'onde. La lumière visible a des longueurs d'onde de $400$-$700$ nm, environ mille fois plus petites qu'un millimètre. Les objets du quotidien (portes, fenêtrès, meubles) font des millions de longueurs d'onde de large, et les effets de diffraction sont donc négligeables. Mais faites passer la lumière à travers une fente étroite ou regardez un lampadaire distant à travers un tissu fin, et la diffraction devient visible.
Expérience des Fentes d'Young
En 1801, Thomas Young réalisa l'une des expériences les plus importantes de l'histoire de la physique. Il fit passer de la lumière à travers deux fentes étroites et observa un motif de bandes brillantes et sombres sur un écran distant. Ce motif, appelé figure d'interférence, fournit la preuve définitive que la lumière est une onde.
Montage et géométrie
Considérons deux fentes étroites séparées par une distance $d$, éclairées par de la lumière monochromatique de longueur d'onde $\lambda$. Un écran est place a une grande distance $L$ des fentes ($L \gg d$). Nous voulons trouver la distribution d'intensité sur l'écran.
Derivation de la figure d'interférence
Soient $r_1$ et $r_2$ les distances des fentes $S_1$ et $S_2$ au point P de l'écran. La quantité clé est la différence de marche $\Delta r = r_2 - r_1$.
Conditions d'interférence pour la double fente
Franges brillantes (interférence constructive) lorsque la différence de marche est un nombre entier de longueurs d'onde :
$$d\sin\theta = m\lambda, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$Franges sombres (interférence destructive) lorsque la différence de marche est un nombre demi-entier de longueurs d'onde :
$$d\sin\theta = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$$L'interfrange sur l'écran est $\Delta y = \lambda L / d$.
Remarquez une caractéristique importante et initialement contre-intuitive : $\Delta y = \lambda L / d$ signifie que des fentes plus rapprochees produisent des franges plus larges. Cette relation inverse entre l'échelle spatiale et l'angle de diffraction est une marque des phénomènes ondulatoires et se connecte directement au principe d'incertitude de Heisenberg en mécanique quantique.
Des ondes classiques à la mécanique quantique
L'expérience de Young ne concerne pas seulement la lumière. Dans la Leçon 6 (Fondements de la mécanique quantique), nous avons vu que les électrons, les neutrons et même les molecules produisent la même figure d'interférence lorsqu'ils traversent une double fente, un par un. La nature ondulatoire de la matière et celle de la lumière sont unifiees par la mécanique quantique : toutes deux sont decrites par des amplitudes de probabilité qui interferent.
Diffraction par une fente unique
Même une seule fente produit un motif sur un écran distant : non pas une tache uniforme, mais un maximum central brillant flanque de maxima secondaires progressivement plus faibles, séparés par des minima sombres. C'est la diffraction par une fente unique, et elle resulte de l'interférence des ondelettes émises par différentes parties de la fente.
Derivation du motif de diffraction
Considérons une fente de largeur $a$ eclairee par une onde plane de longueur d'onde $\lambda$. Nous divisons la fente en une infinite de sources infinitesimales et additionnons leurs contributions en un point distant P.
Minima de diffraction par une fente unique
L'intensité est nulle (franges sombres) lorsque $\sin\beta = 0$ mais $\beta \neq 0$, ce qui donne :
$$a \sin\theta = m\lambda, \qquad m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$$Le maximum central a une demi-largeur angulaire $\theta_1 \approx \lambda/a$ (pour de petits angles). Le maximum central contient environ 84% de la puissance totale diffractee.
Pourquoi la fente unique donne-t-elle des minima a $a\sin\theta = m\lambda$ alors que la double fente donne des maxima a $d\sin\theta = m\lambda$ ?
Pour la double fente, la condition $d\sin\theta = m\lambda$ signifie que les deux faisceaux sont exactement en phase : interférence constructive. Pour la fente unique, $a\sin\theta = m\lambda$ signifie que l'on peut diviser la fente en paires de bandes séparées de $a/2$ dont les contributions s'annulent exactement. La physique est la même (interférence basée sur la différence de marche), mais la géométrie differe.
Réseaux de diffraction
Un réseau de diffraction est un ensemble de $N$ fentes équidistantes (ou sillons réfléchissants) de pas $d$. C'est l'un des instruments optiques les plus importants car il separe la lumière en ses composantes spectrales avec une précision extraordinaire.
La distribution d'intensité pour $N$ fentes est :
$$I(\theta) = I_{\text{fente}} \left[\frac{\sin(N\alpha)}{\sin(\alpha)}\right]^2, \qquad \alpha = \frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}$$où $I_{\text{fente}}$ est l'enveloppe de diffraction d'une fente unique. Le facteur $[\sin(N\alpha)/\sin(\alpha)]^2$ produit des maxima principaux extremement fins aux memes positions que les maxima de la double fente : $d\sin\theta = m\lambda$, mais avec une largeur angulaire proportionnelle a $1/N$.
Pouvoir de résolution d'un réseau
Le pouvoir de résolution $R$ d'un réseau mesure sa capacité a distinguer deux longueurs d'onde voisines $\lambda$ et $\lambda + \Delta\lambda$ :
$$R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN$$où $m$ est l'ordre de diffraction et $N$ est le nombre total de fentes. Un réseau de 10 000 fentes travaillant au deuxieme ordre ($m = 2$) peut resoudre des longueurs d'onde differant d'une partie sur 20 000. C'est pourquoi les réseaux de diffraction sont la colonne vertebrale de la spectroscopie.
Interférence en couches minces
Parmi les plus beaux effets optiques de la nature se trouvent ceux produits par l'interférence en couches minces : les couleurs irisees des bulles de savon, les nappes d'huile sur la chaussee mouillee, et les ailes de certains papillons. Ces couleurs naissent de la réflexion de la lumière sur les deux surfaces d'un film mince, les deux faisceaux reflechis interferant entre eux.
Physique des couches minces
Considérons un film mince d'épaisseur $t$ et d'indice de réfraction $n$ entoure d'air (indice $n_0 = 1$). La lumière frappant le film en incidence quasi-normale se réfléchit sur les deux surfaces. Le faisceau reflechi par la surface arrière a parcouru un chemin optique supplémentaire de $2nt$. Cependant, il y a une subtilité.
Changement de phase à la réflexion
Lorsque la lumière se réfléchit sur un milieu d'indice de réfraction plus élevé, l'onde réfléchie subit un déphasage de $\pi$ (equivalent a une demi-longueur d'onde). Lorsqu'elle se réfléchit sur un milieu d'indice plus faible, il n'y a pas de déphasage. Ceci est analogue a une onde sur une corde se reflechissant sur une extrémité fixe (inversion de phase) versus une extrémité libre (pas d'inversion).
Pour un film de savon (air-film-air), la première réflexion (air vers film, indice faible vers élevé) introduit un déphasage de $\pi$, tandis que la seconde réflexion (film vers air, indice élevé vers faible) ne produit pas de déphasage. La différence de phase totale entre les deux faisceaux reflechis est :
$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}(2nt) + \pi$$L'interférence constructive (réflexion brillante) se produit lorsque $\delta = 2m\pi$ :
$$2nt = \left(m - \frac{1}{2}\right)\lambda, \qquad m = 1, 2, 3, \ldots$$L'interférence destructive (pas de réflexion, la lumière est transmise) se produit lorsque :
$$2nt = m\lambda, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots$$Lorsque de la lumière blanche eclaire un film mince, différentes longueurs d'onde satisfont la condition constructive pour différentes épaisseurs ou angles d'observation. C'est pourquoi les bulles de savon affichent des couleurs arc-en-ciel tourbillonnantes lorsque leur épaisseur varie sur la surface.
Pourquoi les films de savon très minces apparaissent-ils noirs juste avant d'éclater ?
Lorsque l'épaisseur du film tend vers zéro ($t \to 0$), la différence de marche $2nt$ s'annule. La seule différence de phase provient du déphasage de $\pi$ à la première surface, donnant une interférence destructive pour toutes les longueurs d'onde. Aucune lumière n'est réfléchie, donc le film apparaît noir. C'est une confirmation frappante de la règle de changement de phase.
Cohérence
L'interférence exige que les ondes qui se combinent maintiennent une relation de phase stable. Cette propriété s'appelle la cohérence. Il en existe deux types.
Cohérence temporelle
Cohérence temporelle et longueur de cohérence
La cohérence temporelle décrit la capacité d'une onde a maintenir une phase constante au cours du temps. Une onde parfaitement monochromatique (fréquence unique) a une cohérence temporelle infinie. Une source réelle émet des trains d'ondes de duree finie $\tau_c$ (le temps de cohérence). La longueur de cohérence est $\ell_c = c\tau_c$.
Deux portions d'un faisceau ne peuvent interférer que si leur différence de marche est inférieure a $\ell_c$. La longueur de cohérence est liée à la largeur spectrale $\Delta\nu$ par :
$$\ell_c \approx \frac{c}{\Delta\nu} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$$Une ampoule a incandescence ordinaire a $\ell_c \sim 1$ $\mu$m (quelques longueurs d'onde), c'est pourquoi les sources lumineuses courantes ne produisent pas facilement de franges d'interférence visibles. Un laser, en revanche, peut avoir $\ell_c$ allant de centimètres a kilometres, permettant l'interférence sur des distances macroscopiques.
Cohérence spatiale
Cohérence spatiale et théorème de van Cittert-Zernike
La cohérence spatiale décrit la corrélation entre l'onde en deux points différents de l'espace, mesurée au même instant. Une source étendue (comme le Soleil) produit de la lumière spatialement incohérente. Une source ponctuelle, ou une source très éloignée, produit de la lumière spatialement cohérente.
Le théorème de van Cittert-Zernike établit que la cohérence spatiale de la lumière provenant d'une source incohérente de taille angulaire $\alpha$ a un rayon de cohérence :
$$r_c \approx \frac{\lambda}{\alpha}$$C'est pourquoi la lumière des etoiles (taille angulaire minuscule) est suffisamment cohérente spatialement pour produire des interférences.
Cohérence et mécanique quantique
Le concept de cohérence s'etend bien au-dela de l'optique. En mécanique quantique (Leçons 6-11), un système quantique dans un état de superposition $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ est "cohérent" lorsque les termes hors-diagonaux de la matrice densite sont non nuls. La decoherence, la perte de ces termes par interaction avec l'environnement, est l'analogue quantique de la perte de visibilite des franges d'interférence. Les mathématiques sont remarquablement similaires.
Exercices
Exercice 1 : Interfrange de la double fente
Une double fente de separation $d = 0.25$ mm est eclairee par de la lumière de longueur d'onde $\lambda = 550$ nm. L'écran est a $L = 1.5$ m. Calculez (a) l'interfrange, (b) l'angle de la troisieme frange brillante, et (c) comment le motif change si l'expérience est réalisée sous l'eau ($n = 1.33$).
Exercice 2 : Pouvoir de résolution
Un réseau de diffraction comporte 6000 traits/cm et mesure 3 cm de large. (a) Quel est son pouvoir de résolution au deuxieme ordre ? (b) Peut-il resoudre le doublet du sodium a $\lambda = 589.0$ nm et $\lambda = 589.6$ nm ?
Exercice 3 : Couleurs des couches minces
Un film de savon ($n = 1.33$) est eclaire par de la lumière blanche en incidence normale. Quelle est l'épaisseur minimale du film qui produit une réflexion brillante pour la lumière verte ($\lambda = 520$ nm) ?
Exercice 4 : Longueur de cohérence
Un laser hélium-néon émet a $\lambda = 632.8$ nm avec une largeur spectrale de $\Delta\nu = 1.5$ GHz. (a) Quelle est la longueur de cohérence ? (b) Une lampe au sodium émet la raie D a $\lambda = 589.3$ nm avec $\Delta\lambda = 0.6$ nm. Quelle est sa longueur de cohérence ? (c) Quelle source peut produire des franges dans un interféromètre de Michelson avec une différence de marche de 10 cm ?
- Le principe de Huygens explique comment les ondes se propagent et diffractent : chaque point d'un front d'onde est une source d'ondelettes secondaires.
- L'expérience de Young produit une distribution d'intensité $I = I_0 \cos^2(\pi d\sin\theta/\lambda)$, avec un interfrange $\Delta y = \lambda L/d$.
- La diffraction par une fente unique donne un motif en sinus cardinal au carré $I \propto [\sin(\beta)/\beta]^2$ avec des minima a $a\sin\theta = m\lambda$.
- Les réseaux de diffraction affinent les maxima d'interférence et atteignent un pouvoir de résolution $R = mN$, permettant la spectroscopie de précision.
- L'interférence en couches minces produit des reflexions colorées grace à l'interaction entre les différences de chemin optique et les dephasages à la réflexion.
- La cohérence (temporelle et spatiale) détermine la capacité de la lumière a produire des interférences ; les lasers ont une cohérence bien superieure aux sources thermiques.