Leçon 1.2 · 1. Fondements

Mécanique Lagrangienne

Maintenant que nous avons l'équation d'Euler-Lagrange, voyons pourquoi elle est si puissante. L'idée clé : choisissez des coordonnées adaptées à votre problème, et la physique suit automatiquement.

Coordonnées généralisées

Rappel : coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ forment le système de repérage le plus courant : trois axes perpendiculaires, comme une pièce où l'on mesure la position par la distance à chaque mur. Tout point de l'espace peut être décrit par trois nombres $(x, y, z)$.

Rappel : qu'est-ce qu'une contrainte ?

Une contrainte est une restriction sur la façon dont un système peut bouger. Par exemple, une perle enfilée sur un fil ne peut se déplacer que le long du fil, pas librement dans l'espace. La contrainte réduit les mouvements possibles.

En mécanique newtonienne, on travaille avec des coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ et on doit gérer soigneusement les contraintes avec des forces. L'approche lagrangienne est différente :

Les coordonnées généralisées sont un ensemble quelconque de variables indépendantes $q_1, q_2, \ldots, q_n$ qui spécifient complètement la configuration d'un système.

Le mot « généralisé » signifie : utilisez les coordonnées qui sont naturelles pour votre problème. Ce ne sont pas forcément des positions, ce peuvent être des angles, des distances le long de courbes, ou tout paramètre décrivant l'état de manière unique.

Degrés de liberté

Le nombre de coordonnées généralisées est égal au nombre de degrés de liberté, c'est-à-dire le nombre de façons indépendantes dont le système peut bouger. Une particule en 3D a 3 degrés de liberté. Un pendule contraint à osciller dans un plan en a 1.

Exemples concrets : Un train sur un rail a 1 degré de liberté (sa position le long de la voie). Un drone dans les airs en a 3 (il peut se déplacer selon $x$, $y$ et $z$). Plus il y a de contraintes, moins il reste de degrés de liberté.

Exemple : Le pendule simple

Une masse $m$ est suspendue à un fil de longueur $\ell$, oscillant dans un plan vertical.

Le pendule simple. Un degré de liberté : l'angle θ.

Interactif : Pendule Simple

Longueur 150px

Cliquez n'importe où pour définir l'angle du pendule. Ajustez la longueur avec le curseur.

Approche cartésienne : La masse a les coordonnées $(x, y)$ avec la contrainte $x^2 + y^2 = \ell^2$. Il faudrait gérer la force de tension.

Approche lagrangienne : On utilise l'angle $\theta$ comme unique coordonnée généralisée. La contrainte est automatiquement satisfaite.

Position en fonction de $\theta$ :

x = \ell \sin\theta, \quad y = -\ell \cos\theta

Vitesse :

\dot{x} = \ell \dot{\theta} \cos\theta, \quad \dot{y} = \ell \dot{\theta} \sin\theta

Rappel : les deux formes d'énergie (voir leçon 1)

$T$ est l'énergie cinétique, l'énergie liée au mouvement : plus un objet va vite, plus $T$ est grand. $V$ est l'énergie potentielle, l'énergie liée à la position : par exemple, plus un objet est haut, plus il a d'énergie potentielle gravitationnelle.

Énergie cinétique :

T = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2

Énergie potentielle (en prenant $y=0$ au pivot) :

V = mgy = -mg\ell\cos\theta

Le lagrangien :

L = T - V = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta

Appliquons Euler-Lagrange : $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$

Étape 1 : Calculer les dérivées

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m\ell^2\dot{\theta}$

$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mg\ell\sin\theta$

Étape 2 : Dérivée temporelle

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m\ell^2\ddot{\theta}$

Étape 3 : Équation d'Euler-Lagrange

$m\ell^2\ddot{\theta} + mg\ell\sin\theta = 0$

En simplifiant :

\ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0

C'est l'équation du pendule. Remarquez : nous n'avons jamais mentionné la tension. La contrainte est intégrée dans notre choix de coordonnée.

Approximation des petits angles

Pour de petites oscillations, $\sin\theta \approx \theta$, ce qui donne $\ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\theta = 0$, un mouvement harmonique simple de période $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$.

Contraintes

Les contraintes réduisent les degrés de liberté. Il en existe deux types :

En bref

Holonome = contrainte sur la position uniquement (exemple : la longueur d'un fil est fixe).
Non holonome = contrainte qui fait aussi intervenir la vitesse (exemple : rouler sans glisser).

Contraintes holonomes

Exprimables sous forme d'équations reliant les coordonnées (éventuellement avec le temps) :

f(q_1, q_2, \ldots, q_n, t) = 0

Exemples :

Pendule : $x^2 + y^2 = \ell^2$
Particule sur une sphère : $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$
Perle sur un cerceau en rotation (contrainte dépendant du temps)

Pour de nombreuses contraintes holonomes régulières, on peut choisir localement des coordonnées généralisées indépendantes et éliminer les variables redondantes. Quand cette élimination est difficile ou seulement locale, les multiplicateurs de Lagrange restent nécessaires.

Contraintes non holonomes

Impliquent des vitesses et ne peuvent pas être intégrées en contraintes de position :

f(q_1, \ldots, q_n, \dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n, t) = 0

Exemple : Une balle roulant sans glisser. La condition de non-glissement relie la vitesse à la vitesse angulaire mais ne peut pas être réduite à une contrainte de position.

Les contraintes non holonomes nécessitent plus de soin (multiplicateurs de Lagrange), mais de nombreux systèmes importants sont holonomes.

Exemple : Le double pendule

Deux masses reliées par des tiges rigides, un système chaotique classique.

Le double pendule. Deux degrés de liberté : θ₁ et θ₂.

Deux coordonnées généralisées : $\theta_1$ et $\theta_2$.

Positions :

x_1 = \ell_1 \sin\theta_1, \quad y_1 = -\ell_1 \cos\theta_1

x_2 = \ell_1 \sin\theta_1 + \ell_2 \sin\theta_2, \quad y_2 = -\ell_1 \cos\theta_1 - \ell_2 \cos\theta_2

Le lagrangien (après calcul de $T$ et $V$) :

L = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\ell_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta}_2^2 + m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1 - \theta_2) $$ $$ + (m_1 + m_2)g\ell_1\cos\theta_1 + m_2 g\ell_2\cos\theta_2

Les équations du mouvement sont couplées et non linéaires, c'est pourquoi le double pendule présente un comportement chaotique pour de grandes amplitudes.

Qu'est-ce que l'espace des phases ?

L'espace des phases est un espace mathématique où chaque point représente à la fois la position ET la vitesse du système. Pour le double pendule, l'espace des phases est à 4 dimensions : 2 coordonnées de position ($\theta_1$, $\theta_2$) et 2 coordonnées de vitesse ($\dot{\theta}_1$, $\dot{\theta}_2$). Un seul point dans cet espace décrit entièrement l'état du système à un instant donné.

Pourquoi le double pendule est-il chaotique ?

Le chaos nécessite : (1) de la non-linéarité, (2) au moins 3 dimensions dans l'espace des phases. Le double pendule a un espace des phases à 4D $(\theta_1, \theta_2, \dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2)$ et le couplage $\cos(\theta_1 - \theta_2)$ est non linéaire. De minuscules différences dans les conditions initiales mènent à des trajectoires radicalement différentes.

Interactif : Double Pendule

Cliquez n'importe où pour randomiser. Observez la trajectoire chaotique.

La recette

Pour tout système mécanique :

Identifier les degrés de liberté : de combien de façons indépendantes le système peut-il bouger ?
Choisir les coordonnées généralisées : prendre des coordonnées décrivant naturellement le mouvement
Écrire $T$ et $V$ : exprimer les énergies cinétique et potentielle en fonction de $q_i$ et $\dot{q}_i$
Former $L = T - V$
Appliquer Euler-Lagrange : une équation par coordonnée

Pourquoi ça marche

La formulation lagrangienne :

Gère automatiquement les contraintes (intégrées dans le choix des coordonnées)
Fonctionne dans tout système de coordonnées
Révèle les quantités conservées (prochaine leçon)
Se généralise aux champs, à la relativité et à la mécanique quantique

Coordonnées multiples

Avec $n$ coordonnées généralisées $q_1, \ldots, q_n$, on obtient $n$ équations d'Euler-Lagrange :

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \text{pour } i = 1, \ldots, n

Elles forment un système d'équations différentielles couplées décrivant le mouvement.

Exercices

Machine d'Atwood : Deux masses $m_1$ et $m_2$ reliées par une corde passant sur une poulie. Choisissez une seule coordonnée généralisée et dérivez l'équation du mouvement.
Perle sur un fil : Une perle glisse sans frottement sur un fil parabolique $y = ax^2$ dans un champ gravitationnel. Trouvez le lagrangien et l'équation du mouvement.
Pendule sphérique : Un pendule libre d'osciller dans toutes les directions (non confiné à un plan). Combien de degrés de liberté ? Écrivez le lagrangien.

Points Clés

Les coordonnées généralisées sont des variables indépendantes quelconques décrivant la configuration
Degrés de liberté = nombre de coordonnées indépendantes nécessaires
Les contraintes réduisent les degrés de liberté et sont intégrées dans le choix des coordonnées
La méthode lagrangienne : écrire $L = T - V$ en coordonnées généralisées, appliquer Euler-Lagrange
Les forces de contrainte (comme la tension) n'apparaissent jamais, elles sont gérées automatiquement

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