Leçon 2.7 · 2. Mécanique Quantique

Moment Cinétique Quantique

Le moment cinétique quantique explique la structure des atomes, le spin des particules et une grande partie de la spectroscopie. Contrairement à un vecteur classique qui peut pointer dans n'importe quelle direction, ses composantes ne peuvent pas toutes avoir une valeur définie simultanément. La géométrie des rotations devient une algèbre d'opérateurs.

Moment cinétique orbital et spin

Le moment cinétique orbital $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$ vient du mouvement spatial. Le spin $\mathbf{S}$ est intrinsèque : il ne décrit pas une petite sphère en rotation. Les deux obéissent à la même algèbre des rotations.

Algèbre des rotations

Pour tout moment cinétique $\mathbf{J}$, les composantes vérifient :

[J_i,J_j]=i\hbar\,\varepsilon_{ijk}J_k

Comme $[J_x,J_y]\neq0$, on ne peut pas attribuer simultanément des valeurs exactes à $J_x$, $J_y$ et $J_z$. En revanche, $J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$ commute avec chaque composante. On choisit donc les états propres communs de $J^2$ et $J_z$ :

J^2|j,m\rangle=\hbar^2j(j+1)|j,m\rangle,\qquad J_z|j,m\rangle=\hbar m|j,m\rangle

Le nombre $j$ vaut $0,\frac12,1,\frac32,\ldots$, et $m$ prend les $2j+1$ valeurs de $-j$ à $j$.

Opérateurs d'échelle

Les opérateurs $J_\pm=J_x\pm iJ_y$ changent $m$ sans changer $j$ :

J_\pm|j,m\rangle=\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)}\,|j,m\pm1\rangle

La chaîne doit s'arrêter en $m=\pm j$, sinon la norme deviendrait négative. Cette simple exigence algébrique produit la quantification du moment cinétique.

Spin un demi

Pour un électron, $s=1/2$. Dans la base de $S_z$, les opérateurs sont représentés par les matrices de Pauli :

S_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_i,\quad \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

Un état pur de spin un demi correspond à une direction sur la sphère de Bloch :

|\psi\rangle=\cos\frac{\theta}{2}|\uparrow\rangle+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|\downarrow\rangle

Pourquoi l'angle est divisé par deux

Les états de spin un demi forment une représentation de $SU(2)$, le double revêtement du groupe des rotations $SO(3)$. Une rotation de $2\pi$ multiplie le ket par $-1$, et une rotation de $4\pi$ le ramène exactement à sa valeur initiale. Le signe global est invisible pour un état isolé, mais devient observable par interférence.

Addition des moments cinétiques

Pour deux systèmes, le moment total est $\mathbf{J}=\mathbf{J}_1+\mathbf{J}_2$. Les valeurs possibles de $j$ sont :

j=|j_1-j_2|,\ |j_1-j_2|+1,\ldots,j_1+j_2

Deux spins un demi donnent ainsi un triplet $j=1$ et un singulet $j=0$ :

|0,0\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}

Ce singulet est invariant sous les rotations communes et constitue l'état intriqué utilisé dans les tests de Bell.

Moment cinétique orbital

Pour une fonction d'onde spatiale, $L^2$ et $L_z$ ont pour fonctions propres les harmoniques sphériques $Y_\ell^m(\theta,\phi)$. Ici $\ell$ est entier, car la fonction d'onde orbitale doit reprendre la même valeur après une rotation complète. La parité d'une harmonique sphérique vaut $(-1)^\ell$.

Exercices

Listez les valeurs de $m$ pour $j=2$.
Montrez que l'état singulet a une valeur propre nulle pour $J_z=S_{1z}+S_{2z}$.
Quels moments totaux peut-on obtenir en combinant $j_1=1$ et $j_2=1/2$ ?

Points Clés

Les commutateurs du moment cinétique codent la géométrie quantique des rotations.
Les états $|j,m\rangle$ diagonalissent simultanément $J^2$ et une composante, généralement $J_z$.
Le spin est intrinsèque et ne correspond pas à une rotation mécanique classique.
L'addition des moments cinétiques produit des superpositions décrites par les coefficients de Clebsch-Gordan.
Le singulet de deux spins un demi relie symétrie de rotation et intrication.

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