Solution de Schwarzschild
Quelques semaines seulement après qu'Einstein ait publié ses équations de champ en novembre 1915, Karl Schwarzschild trouva la première solution exacte alors qu'il servait sur le front oriental de la Première Guerre mondiale. Sa solution décrit la géométrie de l'espace-temps à l'extérieur de toute masse à symétrie sphérique et non rotative (une étoile, une planète, ou, poussé à sa limite logique, un trou noir). Elle reste la solution exacte la plus importante en relativité générale et le fondement de la plupart des tests expérimentaux de la théorie.
La métrique de Schwarzschild
$$ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2 \, dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$$où $r_s = \frac{2GM}{c^2}$ est le rayon de Schwarzschild. C'est l'unique solution du vide à symétrie sphérique des équations d'Einstein.
Dérivation de la solution
L'élément de ligne le plus général statique et à symétrie sphérique peut s'écrire :
$$ds^2 = -e^{2\alpha(r)} c^2 \, dt^2 + e^{2\beta(r)} dr^2 + r^2 \, d\Omega^2$$où $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2$ est la métrique sur la 2-sphère unité. En substituant dans les équations d'Einstein du vide $R_{\mu\nu} = 0$, on obtient deux équations différentielles ordinaires pour $\alpha(r)$ et $\beta(r)$. La solution, après avoir imposé la platitude asymptotique ($g_{\mu\nu} \to \eta_{\mu\nu}$ quand $r \to \infty$), donne :
$$e^{2\alpha} = e^{-2\beta} = 1 - \frac{r_s}{r}$$Le paramètre $r_s = 2GM/c^2$ est déterminé en raccordant avec la gravité newtonienne aux grandes distances. Pour le Soleil, $r_s \approx 3$ km ; pour la Terre, $r_s \approx 9$ mm.
Décalage vers le rouge gravitationnel
Un photon grimpant hors d'un puits gravitationnel perd de l'énergie. Si un photon est émis au rayon $r_e$ avec une fréquence $\nu_e$ et observé au rayon $r_o > r_e$, la fréquence observée est :
$$\frac{\nu_o}{\nu_e} = \sqrt{\frac{1 - r_s/r_e}{1 - r_s/r_o}}$$Pour un photon émis à la surface du Soleil et observé sur Terre (où $r_s/r_o \approx 0$) :
$$\frac{\Delta\nu}{\nu} \approx \frac{GM}{Rc^2} \approx 2.1 \times 10^{-6}$$Ce minuscule décalage a été mesuré pour la première fois par Pound et Rebka en 1959 en utilisant l'effet Mössbauer, et est désormais pris en compte en routine dans la synchronisation des satellites GPS. Les horloges tournent plus lentement dans les champs gravitationnels plus forts, une conséquence directe de la métrique de Schwarzschild.
Mouvement orbital et périhélie de Mercure
L'équation des géodésiques dans la géométrie de Schwarzschild peut être réduite, par symétrie, au mouvement dans le plan équatorial ($\theta = \pi/2$). La conservation de l'énergie et du moment cinétique donne un problème effectif unidimensionnel :
$$\frac{1}{2}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + V_{\text{eff}}(r) = \frac{1}{2}(E^2 - c^2)$$avec le potentiel effectif :
$$V_{\text{eff}}(r) = -\frac{GMc^2}{r} + \frac{L^2}{2r^2} - \frac{GML^2}{c^2 r^3}$$Les deux premiers termes sont le potentiel newtonien familier et la barrière centrifuge. Le troisième terme est la correction relativiste, il est toujours attractif et domine à petit $r$, empêchant la barrière centrifuge de croître sans limite. Cela a des conséquences dramatiques.
Interactif : Orbites autour d'un Trou Noir
Ajustez le moment cinétique L et l'énergie E. Gauche : potentiel effectif. Droite : trajectoire orbitale.
Pour des orbites quasi circulaires, la correction relativiste fait précessionner l'orbite. L'avance du périhélie est de :
Précession du périhélie
$$\Delta\phi = \frac{6\pi G M}{c^2 a(1 - e^2)}$$par orbite, où $a$ est le demi-grand axe et $e$ est l'excentricité. Pour Mercure : $\Delta\phi = 43''$ par siècle, exactement la précession anomale qui avait intrigué les astronomes pendant des décennies.
Ce fut le premier grand triomphe d'Einstein. Quand le calcul donna la valeur correcte pour la précession anomale de Mercure, il aurait dit que "quelque chose avait craqué" en lui.
Déviation de la lumière
Les photons suivent aussi des géodésiques, mais des géodésiques nulles ($ds^2 = 0$). Dans la géométrie de Schwarzschild, un rayon lumineux passant à côté d'une masse $M$ à une distance d'approche minimale $b$ est dévié d'un angle :
$$\delta = \frac{4GM}{bc^2}$$Pour la lumière frisant le Soleil, $\delta = 1.75''$, le double de la prédiction newtonienne. Cela a été confirmé par la célèbre expédition d'éclipse solaire d'Eddington en 1919, qui fit d'Einstein une célébrité mondiale. Aujourd'hui, la lentille gravitationnelle est un outil puissant en astronomie : elle permet de cartographier la distribution de matière noire, de détecter des exoplanètes et de grossir les galaxies lointaines.
Le rayon de Schwarzschild
La métrique a une singularité apparente à $r = r_s = 2GM/c^2$ : le coefficient de $dt^2$ s'annule et le coefficient de $dr^2$ diverge. Pour les étoiles ordinaires, $r_s$ se trouve au plus profond de l'étoile où la solution du vide ne s'applique pas. Mais si un objet est comprimé en dessous de son rayon de Schwarzschild, la singularité est exposée et des conséquences profondes s'ensuivent.
Rayon de Schwarzschild
$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$Pour le Soleil : $r_s \approx 3$ km. Pour la Terre : $r_s \approx 9$ mm. Pour un humain (70 kg) : $r_s \approx 10^{-25}$ m.
Singularité de coordonnées vs. singularité physique
Qu'est-ce qu'une singularité ?
Une singularité est un point où les grandeurs physiques (comme la courbure de l'espace-temps) deviennent infinies et où les équations cessent de fonctionner. Il existe deux types : les singularités de coordonnées, qui sont de simples artefacts du système de coordonnées choisi (comme le pôle Nord sur une carte qui semble "étiré"), et les singularités physiques, où la courbure est réellement infinie et la physique connue s'effondre.
$r = r_s$ est-elle une véritable singularité de l'espace-temps, ou simplement une défaillance des coordonnées ? Le diagnostic clé est de calculer un invariant de courbure, une quantité scalaire qui ne dépend pas du choix de coordonnées. Le scalaire de Kretschner est :
$$K = R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6}$$À $r = r_s$, il est fini : $K = \frac{12}{r_s^4}$. À $r = 0$, il diverge. Donc $r = r_s$ est une singularité de coordonnées (un artefact des coordonnées de Schwarzschild), tandis que $r = 0$ est une singularité physique où la courbure diverge réellement.
Un observateur en chute libre traverse $r = r_s$ en un temps propre fini et ne remarque rien de spécial localement. La singularité de coordonnées peut être supprimée en choisissant de meilleures coordonnées.
Meilleurs systèmes de coordonnées
Coordonnées d'Eddington-Finkelstein
Définissons une coordonnée de temps avancée $v = t + r + r_s \ln|r/r_s - 1|$ (en unités où $c = 1$). La métrique devient :
$$ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) dv^2 + 2 \, dv \, dr + r^2 \, d\Omega^2$$Elle est parfaitement régulière à $r = r_s$. Les rayons lumineux entrants ont $v = \text{const}$, montrant clairement qu'ils traversent l'horizon sans problème. Les rayons lumineux sortants à $r < r_s$ sont en fait entraînés vers l'intérieur. Rien ne peut s'échapper.
Coordonnées de Kruskal-Szekeres
L'extension analytique maximale utilise les coordonnées de Kruskal-Szekeres $(T, X)$, reliées aux coordonnées de Schwarzschild par :
$$T^2 - X^2 = \left(1 - \frac{r}{r_s}\right) e^{r/r_s}$$Tout l'espace-temps est cartographié de manière lisse. L'horizon $r = r_s$ devient deux lignes nulles $T = \pm X$, et la singularité $r = 0$ devient une courbe de genre espace $T^2 - X^2 = 1$. Le diagramme de Kruskal révèle la structure causale complète : il n'y a pas seulement une région de trou noir (singularité future) mais aussi une région de "trou blanc" (singularité passée) et une seconde région asymptotique, bien que la pertinence physique de ces extensions soit débattue.
Théorème de Birkhoff
Un résultat d'unicité remarquable : toute solution du vide à symétrie sphérique des équations d'Einstein est nécessairement statique et donnée par la métrique de Schwarzschild. Cela signifie qu'une étoile pulsante à symétrie sphérique ne produit pas d'ondes gravitationnelles. L'espace-temps extérieur est toujours celui de Schwarzschild. C'est l'analogue gravitationnel du théorème de la coquille en gravité newtonienne.
Le théorème de Birkhoff a une conséquence profonde : le champ gravitationnel à l'extérieur d'une étoile qui s'effondre ne dépend que de sa masse totale, pas des détails de l'effondrement, tant que la symétrie sphérique est maintenue.
Points Clés
- La métrique de Schwarzschild est l'unique solution du vide à symétrie sphérique, entièrement déterminée par la masse $M$
- Elle prédit le décalage vers le rouge gravitationnel (confirmé par Pound-Rebka), la précession orbitale (confirmée par Mercure), et la déviation de la lumière (confirmée par Eddington)
- Le rayon de Schwarzschild $r_s = 2GM/c^2$ marque une singularité de coordonnées, pas une singularité physique. Les observateurs en chute libre le traversent sans encombre
- La véritable singularité physique à $r = 0$ a une courbure divergente et représente une défaillance de la relativité générale classique
- Les coordonnées de Kruskal-Szekeres révèlent la structure causale complète, y compris l'intérieur du trou noir
- Le théorème de Birkhoff garantit que tout espace-temps du vide à symétrie sphérique est celui de Schwarzschild
Perspectives
La solution de Schwarzschild révèle que lorsque la masse est comprimée dans son rayon de Schwarzschild, un horizon des événements se forme. Dans la prochaine leçon, nous explorons les trous noirs dans toute leur généralité, y compris les trous noirs en rotation (Kerr), la thermodynamique des trous noirs, le rayonnement de Hawking et le paradoxe de l'information. Ces objets, autrefois considérés comme des curiosités mathématiques, sont maintenant observés directement grâce aux ondes gravitationnelles et au télescope de l'horizon des événements.