Géométrie Différentielle
La relativité générale décrit la gravité non pas comme une force, mais comme la courbure de l'espace-temps. Pour rendre cela précis, nous avons besoin du langage de la géométrie différentielle, les mathématiques des espaces courbes. Cette leçon développe la boîte à outils essentielle : variétés, tenseurs, métrique, dérivées covariantes et courbure. Ces concepts ne sont pas un simple formalisme ; ils constituent l'alphabet dans lequel Einstein a écrit ses équations de champ.
L'idée centrale
Une variété est un espace qui peut être courbe globalement mais qui semble plat localement. La physique dans un espace-temps courbe est construite en exigeant que les lois soient les mêmes dans chaque patch local. Cette exigence nous force à inventer les connexions, les dérivées covariantes et les tenseurs de courbure.
Variétés : des espaces localement plats
Qu'est-ce qu'une variété ?
Une variété est un espace qui peut avoir une forme globale complexe (courbée, tordue) mais qui, vu de suffisamment près, ressemble à un espace plat ordinaire. La surface de la Terre en est le meilleur exemple : globalement c'est une sphère, mais à l'échelle d'un quartier, elle semble parfaitement plate. On ne peut pas la représenter sur une seule carte plane sans distorsion, mais on peut la couvrir avec un atlas de cartes qui se chevauchent.
Une variété est un espace topologique qui, au voisinage de chaque point, ressemble à un $\mathbb{R}^n$ ordinaire. La surface de la Terre en est un exemple familier : globalement c'est une sphère, mais localement, à l'échelle d'une ville, elle semble plate. On la décrit à l'aide de cartes de coordonnées qui se chevauchent.
Une carte de coordonnées est une application lisse et inversible d'un patch de la variété vers $\mathbb{R}^n$. Un atlas est une collection de cartes qui couvre toute la variété. Là où deux cartes se chevauchent, la fonction de transition entre elles doit être lisse. Aucune carte unique n'a besoin de couvrir toute la variété, tout comme aucune carte plane unique ne peut couvrir toute la Terre sans distorsion.
En relativité générale, l'espace-temps est une variété à 4 dimensions avec des coordonnées $x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3)$. L'indice supérieur $\mu$ va de 0 à 3. Nous sommes libres de choisir n'importe quelles coordonnées. La physique ne doit pas dépendre de ce choix.
Vecteurs tangents et covecteurs
En chaque point $p$ d'une variété, on peut définir un espace tangent $T_p$ : l'espace vectoriel de toutes les directions dans lesquelles on peut se déplacer depuis $p$. Sur une surface 2D plongée dans l'espace 3D, l'espace tangent en chaque point est littéralement le plan tangent.
Un vecteur tangent $V^\mu$ a des composantes qui se transforment sous un changement de coordonnées $x^\mu \to x'^\mu$ comme :
$$V'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} V^\nu$$Ici et partout dans la suite, nous utilisons la convention de sommation d'Einstein : les indices répétés en haut et en bas sont sommés. Un covecteur (ou une-forme) $\omega_\mu$ vit dans l'espace dual et se transforme avec le jacobien inverse :
$$\omega'_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} \omega_\nu$$La contraction d'un vecteur avec une une-forme, $\omega_\mu V^\mu$, est un scalaire, invariant sous les changements de coordonnées. C'est par construction : la physique doit être indépendante des coordonnées.
Tenseurs : applications multilinéaires
Un tenseur de type $(p, q)$ a $p$ indices supérieurs et $q$ indices inférieurs, et se transforme comme :
$$T'^{\mu_1 \cdots \mu_p}{}_{\nu_1 \cdots \nu_q} = \frac{\partial x'^{\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial x'^{\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}} \frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x'^{\nu_1}} \cdots \frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x'^{\nu_q}} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_p}{}_{\beta_1 \cdots \beta_q}$$Les scalaires sont des tenseurs $(0,0)$, les vecteurs sont $(1,0)$, les une-formes sont $(0,1)$. La puissance des tenseurs est que toute équation écrite sous forme tensorielle est automatiquement valide dans tous les systèmes de coordonnées. C'est exactement ce dont nous avons besoin pour la covariance générale.
Le tenseur métrique
Qu'est-ce que le tenseur métrique ?
Le tenseur métrique est la "règle" de l'espace-temps. Il vous dit comment mesurer les distances et les angles en chaque point. Dans un espace plat, les distances se calculent avec le théorème de Pythagore. Dans un espace courbe, la métrique change d'un point à l'autre, tout comme les distances sur une carte du monde sont déformées par rapport aux distances réelles sur le globe. Connaître la métrique en tout point, c'est connaître toute la géométrie de l'espace-temps.
Le tenseur le plus important en relativité générale est le tenseur métrique $g_{\mu\nu}$, un tenseur symétrique de type $(0,2)$ qui définit les distances et les angles sur la variété.
L'élément de ligne
La distance infinitésimale au carré entre des points voisins est :
$$ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu \, dx^\nu$$Dans l'espace-temps plat de Minkowski : $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$, donc $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, +1, +1, +1)$ (en unités où $c = 1$).
Sur une variété courbe, $g_{\mu\nu}$ varie d'un point à l'autre. Il encode toute l'information géométrique : distances, angles, volumes, et (comme nous le verrons) la courbure. La métrique permet aussi de monter et descendre les indices : $V_\mu = g_{\mu\nu} V^\nu$ et $V^\mu = g^{\mu\nu} V_\nu$, où $g^{\mu\nu}$ est l'inverse matricielle de $g_{\mu\nu}$.
Par exemple, sur la surface d'une sphère de rayon $R$, l'élément de ligne est :
$$ds^2 = R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$$Le facteur $\sin^2\theta$ encode le fait que les cercles de latitude constante rétrécissent à mesure qu'on approche des pôles.
Symboles de Christoffel et dérivées covariantes
Pourquoi faut-il une dérivée covariante ?
Dans un espace plat, calculer comment une grandeur varie d'un point à l'autre est simple : on prend la dérivée ordinaire. Mais dans un espace courbe, les axes de référence eux-mêmes tournent d'un point à l'autre. La dérivée covariante corrige cet effet en tenant compte de la rotation des axes, un peu comme un navigateur corrige sa boussole pour tenir compte de la courbure de la Terre. Les symboles de Christoffel sont les corrections nécessaires, calculées à partir de la métrique.
Sur une variété courbe, la dérivée partielle ordinaire d'un tenseur n'est pas un tenseur : elle ne se transforme pas correctement sous les changements de coordonnées. Pour corriger cela, nous introduisons la dérivée covariante $\nabla_\mu$, qui nécessite une connexion.
Pour l'unique connexion sans torsion compatible avec la métrique (la connexion de Levi-Civita), les coefficients de connexion sont les symboles de Christoffel :
Symboles de Christoffel
$$\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right)$$Ils sont construits entièrement à partir de la métrique et de ses dérivées premières. Ils sont symétriques dans leurs indices inférieurs : $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu} = \Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}$.
La dérivée covariante d'un vecteur est :
$$\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} V^\lambda$$et pour une une-forme :
$$\nabla_\mu \omega_\nu = \partial_\mu \omega_\nu - \Gamma^\lambda{}_{\mu\nu} \omega_\lambda$$La propriété essentielle est que $\nabla_\mu g_{\alpha\beta} = 0$ : la dérivée covariante de la métrique s'annule. Cela signifie que la connexion est compatible avec la notion de distance définie par $g_{\mu\nu}$.
Transport parallèle
Comment comparer des vecteurs en différents points d'une variété courbe ? On ne peut pas simplement les soustraire : ils vivent dans des espaces tangents différents. La réponse est le transport parallèle : faire glisser un vecteur le long d'une courbe en le gardant "aussi droit que possible".
Un vecteur $V^\mu$ est transporté parallèlement le long d'une courbe $x^\mu(\lambda)$ si :
$$\frac{DV^\mu}{d\lambda} = \frac{dx^\nu}{d\lambda} \nabla_\nu V^\mu = 0$$Dans un espace plat, le transport parallèle est trivial : les composantes du vecteur ne changent pas. Dans un espace courbe, quelque chose de remarquable se produit : si vous transportez parallèlement un vecteur autour d'une boucle fermée, il revient tourné. La quantité de rotation mesure directement la courbure encerclée par la boucle.
Le tenseur de courbure de Riemann
La rotation d'un vecteur lors du transport parallèle autour d'une boucle infinitésimale est mesurée par le tenseur de courbure de Riemann :
Tenseur de Riemann
$$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho{}_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}$$Il mesure le défaut de commutation des dérivées covariantes : $[\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\rho = R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} V^\sigma$.
En $n$ dimensions, le tenseur de Riemann a $\frac{n^2(n^2-1)}{12}$ composantes indépendantes. Dans l'espace-temps 4D, cela fait 20 composantes indépendantes. En 2D, il n'a qu'une seule composante indépendante. Toute l'information de courbure est capturée par un seul nombre, la courbure gaussienne.
Un espace est plat si et seulement si $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = 0$ partout.
Tenseur de Ricci et scalaire
En contractant le tenseur de Riemann, on obtient des objets qui apparaissent directement dans les équations d'Einstein.
Le tenseur de Ricci est une contraction sur les premier et troisième indices :
$$R_{\mu\nu} = R^\lambda{}_{\mu\lambda\nu}$$Il est symétrique : $R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu}$. Le scalaire de Ricci (ou courbure scalaire) est une contraction supplémentaire :
$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$Le tenseur de Ricci capture la partie de la courbure qui fait changer les volumes. Un scalaire de Ricci positif signifie que l'espace "converge" (comme une sphère), tandis qu'un scalaire négatif signifie qu'il "diverge" (comme une selle).
Géodésiques
Dans un espace plat, le chemin le plus court entre deux points est une ligne droite. Sur une variété courbe, les courbes analogues sont les géodésiques, des courbes qui extrémisent la distance propre (ou le temps propre dans l'espace-temps).
L'équation des géodésiques
$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$$Une particule en chute libre suit une géodésique. La gravité n'est pas une force. C'est la courbure de l'espace-temps qui guide les objets le long des géodésiques.
Cette équation peut être dérivée du principe d'action. Le temps propre le long d'un chemin est :
$$\tau = \int \sqrt{-g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} \, d\lambda$$Extrémiser cette action donne l'équation des géodésiques. Nous avons bouclé la boucle : le principe de moindre action, avec lequel nous avons commencé en mécanique classique, détermine maintenant le mouvement des particules dans l'espace-temps courbe.
Sur la surface de la Terre, les géodésiques sont les grands cercles (les plus courts chemins entre les villes sur un globe). Dans l'espace-temps, les géodésiques sont les lignes d'univers des objets en chute libre, des particules se déplaçant sous la seule influence de la gravité, sans aucune autre force.
Points Clés
- Une variété est un espace localement plat mais pouvant être globalement courbe, décrit par des cartes de coordonnées qui se chevauchent
- Les tenseurs sont les objets naturels sur les variétés : ils se transforment de manière covariante sous les changements de coordonnées, garantissant que la physique est indépendante des coordonnées
- Le tenseur métrique $g_{\mu\nu}$ définit les distances, les angles et les volumes sur la variété
- Les symboles de Christoffel encodent comment les vecteurs de base changent d'un point à l'autre, permettant la dérivée covariante
- Le transport parallèle autour d'une boucle fermée révèle la courbure : un vecteur revient tourné
- Le tenseur de Riemann $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ est la mesure complète de la courbure, construit à partir de la métrique et de ses deux premières dérivées
- Les géodésiques sont les chemins les plus droits possibles sur une variété courbe, déterminés par le même principe variationnel qui gouverne toute la physique
Perspectives
Nous disposons maintenant de la boîte à outils mathématique complète de la géométrie différentielle. Dans la prochaine leçon, nous l'utilisons pour écrire l'équation centrale de la relativité générale : les équations de champ d'Einstein. Ces équations relient la courbure de l'espace-temps (via le tenseur de Ricci et le scalaire) à la distribution de matière et d'énergie (via le tenseur énergie-impulsion). Le résultat est une théorie auto-cohérente où la matière dit à l'espace-temps comment se courber, et l'espace-temps dit à la matière comment se déplacer.