Leçon 2.1 · 2. Mécanique Quantique

Fondements de la MQ

Tout change ici. La mécanique classique décrit un monde aux propriétés définies : les particules ont des positions et des impulsions qui existent que l'on regarde ou non. La mécanique quantique décrit quelque chose de plus étrange : un monde où les propriétés n'existent pas avant d'être mesurées, où les particules sont des ondes, et où l'observation modifie la réalité.

Pourquoi la mécanique quantique ?

La physique classique a échoué de manière spectaculaire au début des années 1900 :

Rayonnement du corps noir : La théorie classique prédisait une énergie infinie aux hautes fréquences (catastrophe ultraviolette). Planck a résolu le problème en supposant que l'énergie vient en paquets discrets : $E = h\nu$
Effet photoélectrique : La lumière éjecte des électrons des métaux, mais seulement au-dessus d'une fréquence seuil, pas de l'intensité. Einstein l'a expliqué : la lumière est formée de particules (photons) d'énergie $E = h\nu$
Stabilité atomique : Les électrons classiques orbitant autour d'un noyau devraient rayonner de l'énergie et spiraler vers l'intérieur. Les atomes devraient s'effondrer en $10^{-11}$ secondes. Ce n'est pas le cas.
Spectres atomiques : Les atomes émettent de la lumière uniquement à des fréquences spécifiques, pas un spectre continu. Pourquoi ?

La résolution a nécessité d'abandonner entièrement les intuitions classiques.

La fonction d'onde

Qu'est-ce que la fonction d'onde ?

La fonction d'onde $\psi(x, t)$ est une fonction mathématique qui encode tout ce qu'il est possible de savoir sur une particule quantique. Contrairement à la mécanique classique, où l'on donne une position et une vitesse précises, ici on donne une fonction qui s'étend dans tout l'espace. Son carré $|\psi(x)|^2$ donne la probabilité de trouver la particule à chaque endroit. Là où $|\psi|^2$ est grand, la particule a plus de chances d'être trouvée. Là où $|\psi|^2$ est petit, elle en a moins. La fonction d'onde est à valeurs complexes (elle utilise des nombres complexes), ce qui lui permet d'encoder les phénomènes d'interférence propres au monde quantique.

En mécanique quantique, une particule est décrite par une fonction d'onde $\psi(x, t)$, une fonction à valeurs complexes de la position et du temps.

Règle de Born

La probabilité de trouver la particule entre $x$ et $x + dx$ est :

$$ P(x) \, dx = |\psi(x)|^2 \, dx $$

La fonction d'onde elle-même n'est pas directement observable, seul $|\psi|^2$ l'est.

Puisque les probabilités doivent sommer à 1 :

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = 1

Qu'EST-CE que la fonction d'onde ?

C'est le mystère central. $\psi$ est-il un champ physique réel ? Une représentation de notre connaissance ? Autre chose ? Différentes interprétations donnent différentes réponses. Nous explorerons cela dans la leçon 2.5.

L'équation de Schrödinger

La fonction d'onde évolue selon l'équation de Schrödinger :

i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi

où $\hat{H}$ est l'opérateur hamiltonien. Pour une particule dans un potentiel :

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)

L'équation complète est donc :

i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\psi

Connexion : De Hamilton-Jacobi à Schrödinger

L'équation de Schrödinger est la version quantique de Hamilton-Jacobi. Si $\psi = e^{iS/\hbar}$, alors dans la limite $\hbar \to 0$, on retrouve la mécanique classique. Le « quantique » est dans le $\hbar$.

Opérateurs et observables

En mécanique quantique, les grandeurs physiques deviennent des opérateurs agissant sur les fonctions d'onde :

Observable	Opérateur
Position $x$	$\hat{x} = x$ (multiplier par $x$)
Impulsion $p$	$\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$
Énergie $E$	$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V$
Moment cinétique $L_z$	$\hat{L}_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$

Valeurs propres et mesure

Qu'est-ce qu'une valeur propre et un vecteur propre ?

Quand un opérateur (une « machine mathématique ») agit sur un vecteur, il le transforme généralement en un vecteur complètement différent. Mais certains vecteurs spéciaux ne font que s'allonger ou se raccourcir, sans changer de direction : ce sont les vecteurs propres. Le facteur d'allongement correspondant est la valeur propre. En mécanique quantique, les valeurs propres d'un opérateur représentent les résultats possibles d'une mesure, et les vecteurs propres sont les états dans lesquels le système se retrouve après la mesure. Par exemple, les valeurs propres de l'opérateur d'énergie sont les niveaux d'énergie que l'on peut effectivement mesurer.

Lorsqu'on mesure une observable $\hat{A}$, on obtient l'une de ses valeurs propres. Si :

\hat{A} |a\rangle = a |a\rangle

alors $a$ est un résultat de mesure possible, et $|a\rangle$ est l'état avec la valeur définie $a$.

La probabilité d'obtenir le résultat $a$ en mesurant l'état $|\psi\rangle$ :

P(a) = |\langle a | \psi \rangle|^2

Le postulat de la mesure et l'effondrement de la fonction d'onde

Avant une mesure, une particule quantique peut être dans une superposition de plusieurs états possibles. Mais au moment où l'on mesure, on obtient toujours un seul résultat précis. La fonction d'onde s'effondre alors instantanément vers l'état correspondant au résultat obtenu. C'est comme si, avant la mesure, la particule « hésitait » entre plusieurs possibilités, et la mesure la « forçait » à choisir. Après la mesure ayant donné le résultat $a$, le système se retrouve dans l'état propre $|a\rangle$. Ce processus est discontinu, irréversible et reste l'un des aspects les plus débattus de la mécanique quantique.

Le principe d'incertitude

Qu'est-ce que le principe d'incertitude ?

Le principe d'incertitude de Heisenberg affirme qu'il est fondamentalement impossible de connaître simultanément, avec une précision parfaite, la position et la quantité de mouvement d'une particule. Plus vous mesurez précisément où se trouve la particule, plus son mouvement devient flou, et inversement. Ce n'est pas un défaut de nos instruments : c'est une propriété intrinsèque de la nature. Cela vient du fait que position et quantité de mouvement sont mathématiquement liées comme les deux faces d'une même pièce (par la transformée de Fourier vue dans la leçon précédente).

Les opérateurs de position et d'impulsion ne commutent pas :

[\hat{x}, \hat{p}] = \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} = i\hbar

Cela conduit au principe d'incertitude de Heisenberg :

\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}

où $\Delta x$ et $\Delta p$ sont les écarts-types de la position et de l'impulsion.

L'incertitude concerne-t-elle la connaissance ou la réalité ?

La particule a-t-elle une position et une impulsion définies que nous ne pouvons simplement pas connaître ? Ou n'a-t-elle véritablement pas de valeurs définies ? Le théorème de Bell (leçon 2.4) montre : c'est la réalité, pas seulement la connaissance. Les particules n'ont pas de propriétés définies avant d'être mesurées.

Superposition

Qu'est-ce que le principe de superposition ?

Le principe de superposition est l'idée que si un système quantique peut se trouver dans l'état A et peut aussi se trouver dans l'état B, alors il peut également se trouver dans un mélange des deux simultanément. Ce n'est pas la même chose que de dire « il est dans A ou dans B, mais on ne sait pas lequel ». Le système est réellement dans les deux à la fois, et cette coexistence a des conséquences physiques mesurables, notamment les phénomènes d'interférence. C'est seulement au moment de la mesure que le système « choisit » un état précis.

Si $|\psi_1\rangle$ et $|\psi_2\rangle$ sont des états valides, toute combinaison linéaire l'est aussi :

|\psi\rangle = \alpha |\psi_1\rangle + \beta |\psi_2\rangle

C'est la superposition. La particule est « dans les deux états à la fois », pas dans l'un ou l'autre avec une certaine probabilité, mais véritablement dans une combinaison.

Évolution temporelle

L'équation de Schrödinger est déterministe : étant donné $\psi(t=0)$, elle détermine de manière unique $\psi(t)$ pour tous les temps futurs.

Pour des hamiltoniens indépendants du temps, on peut trouver des états stationnaires qui ne changent que par une phase :

\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle

Ce sont les états propres de l'énergie. Leur évolution temporelle est :

|\psi_n(t)\rangle = e^{-iE_n t/\hbar} |\psi_n(0)\rangle

Tout état peut s'écrire comme une somme d'états propres de l'énergie :

|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n e^{-iE_n t/\hbar} |\psi_n\rangle

Les deux règles de la mécanique quantique

La mécanique quantique possède deux règles fondamentalement différentes :

Règle 1 : Évolution unitaire

Lorsqu'elle n'est pas mesurée, la fonction d'onde évolue selon l'équation de Schrödinger. C'est déterministe, continu et réversible.

Règle 2 : Effondrement

Lors d'une mesure, la fonction d'onde s'effondre vers un état propre de l'observable mesurée. C'est probabiliste, discontinu et irréversible.

La tension entre ces deux règles constitue le problème de la mesure. Quand exactement la règle 2 s'applique-t-elle ? Qu'est-ce qui compte comme une « mesure » ? C'est le problème non résolu le plus profond des fondements de la physique.

Exercices

Normaliser : Trouver la constante de normalisation $A$ pour $\psi(x) = A e^{-x^2/2\sigma^2}$.
Valeurs moyennes : Pour une fonction d'onde normalisée, montrer que $\langle x \rangle = \int x |\psi|^2 dx$ et le calculer pour une gaussienne.
Commutateur : Vérifier que $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ en agissant sur une fonction test $f(x)$.
Incertitude : Pour un paquet d'onde gaussien, calculer $\Delta x$ et $\Delta p$ et vérifier le principe d'incertitude.

Points Clés

Les particules sont décrites par des fonctions d'onde ; $|\psi|^2$ donne la densité de probabilité
L'équation de Schrödinger régit l'évolution temporelle
Les observables sont des opérateurs ; les mesures donnent des valeurs propres
$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ conduit au principe d'incertitude
Superposition : les particules peuvent être dans plusieurs états simultanément
Deux règles : évolution continue vs. effondrement soudain, le problème de la mesure

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