Ondes Électromagnétiques
Qu'est-ce qu'une onde ?
Une onde est une perturbation qui se propage d'un endroit à un autre sans transporter de matière. Quand vous jetez un caillou dans un lac, les vaguelettes se propagent vers l'extérieur, mais l'eau elle-même ne se déplace pas horizontalement. De même, une onde électromagnétique est une oscillation des champs électrique et magnétique qui se propage dans l'espace. Contrairement aux vagues sur l'eau, elle n'a besoin d'aucun milieu matériel pour se propager : elle peut traverser le vide.
Les équations de Maxwell contiennent l'une des prédictions les plus stupéfiantes de l'histoire des sciences. Lorsque Maxwell compléta ses équations en ajoutant le courant de déplacement, il remarqua que les équations couplées pour $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ admettaient des solutions ondulatoires, des perturbations qui se propagent dans le vide à une vitesse déterminée entièrement par deux constantes électriques. Quand il calcula cette vitesse, il trouva que c'était la vitesse de la lumière. D'un seul coup, Maxwell unifia l'électricité, le magnétisme et l'optique.
Le Résultat Central
Les équations de Maxwell prédisent des ondes auto-entretenues de champs électrique et magnétique oscillants qui se propagent dans le vide à la vitesse :
$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 299\,792\,458 \text{ m/s}$$C'est la vitesse de la lumière. La lumière est une onde électromagnétique.
Dérivation de l'Équation d'Onde
Dérivons cela depuis le début. Dans le vide (pas de charges ni de courants : $\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), les équations de Maxwell se simplifient en :
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$ $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$Prenons le rotationnel de la loi de Faraday et utilisons l'identité vectorielle $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$ :
L'Équation d'Onde Électromagnétique
$$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$ $$\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$$\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ satisfont tous deux l'équation d'onde avec la vitesse $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$.
Remarquez l'implication profonde : la vitesse de la lumière est déterminée par $\varepsilon_0$ (la force des interactions électriques) et $\mu_0$ (la force des interactions magnétiques). Ce sont des constantes mesurées dans des expériences de table. Pourtant, elles prédisent la vitesse de quelque chose d'aussi exotique que la lumière voyageant depuis des étoiles lointaines.
Solutions en Ondes Planes
Onde plane et relation de dispersion
Une onde plane est une onde dont les fronts (les surfaces où la perturbation a la même valeur) sont des plans infinis. C'est l'onde la plus simple possible. Elle est décrite par deux paramètres : le nombre d'onde $k = 2\pi/\lambda$ (où $\lambda$ est la longueur d'onde, la distance entre deux crêtes) et la fréquence angulaire $\omega = 2\pi f$ (où $f$ est le nombre d'oscillations par seconde). La relation de dispersion $\omega = ck$ relie ces deux quantités et dit que toutes les fréquences se propagent à la même vitesse $c$.
Les solutions les plus simples de l'équation d'onde sont les ondes planes. Pour une onde se propageant dans la direction $z$ :
$$\mathbf{E}(z, t) = E_0 \cos(kz - \omega t) \, \hat{\mathbf{x}}$$ $$\mathbf{B}(z, t) = B_0 \cos(kz - \omega t) \, \hat{\mathbf{y}}$$avec la relation de dispersion $\omega = ck$.
Propriétés des Ondes Planes EM
Transversales : $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ sont perpendiculaires à la direction de propagation.
Mutuellement perpendiculaires : $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$ toujours.
En phase : $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ oscillent ensemble.
Amplitudes liées : $E_0 = cB_0$.
Interactif : Onde Électromagnétique
Le champ E (orange) oscille verticalement, le champ B (bleu) oscille horizontalement. Les deux se propagent ensemble.
Polarisation
Puisque $\mathbf{E}$ doit être perpendiculaire à la direction de propagation, une onde voyageant dans la direction $z$ peut avoir $\mathbf{E}$ pointant dans n'importe quelle direction du plan $xy$. Cette liberté s'appelle la polarisation.
- Polarisation linéaire ($\phi = 0$ ou $\pi$) : $\mathbf{E}$ oscille le long d'une direction fixe
- Polarisation circulaire ($E_{0x} = E_{0y}$, $\phi = \pm\pi/2$) : l'extrémité de $\mathbf{E}$ trace un cercle
- Polarisation elliptique (cas général) : $\mathbf{E}$ trace une ellipse
Énergie dans les Champs Électromagnétiques
Énergie dans les champs
Les champs électrique et magnétique ne sont pas de simples abstractions mathématiques : ils stockent de l'énergie réelle. Tout comme un ressort comprimé stocke de l'énergie, une région de l'espace où $\mathbf{E}$ ou $\mathbf{B}$ sont non nuls contient de l'énergie. La densité d'énergie $u$ mesure l'énergie par unité de volume contenue dans les champs en un point donné.
Les champs électromagnétiques transportent de l'énergie. La densité d'énergie stockée dans les champs est :
$$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$Le Vecteur de Poynting
Le flux d'énergie transporté par un champ électromagnétique est donné par le vecteur de Poynting :
$$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}$$Pour une onde plane, $\mathbf{S}$ pointe dans la direction de propagation.
Quantité de Mouvement et Pression de Radiation
Les ondes électromagnétiques transportent non seulement de l'énergie mais aussi de la quantité de mouvement. La densité de quantité de mouvement est :
$$\mathbf{g} = \frac{\mathbf{S}}{c^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \mathbf{S}$$Quand la lumi��re frappe une surface, elle exerce une pression, la pression de radiation.
Rayonnement des Charges Accélérées
Qu'est-ce qui crée les ondes électromagnétiques ? La réponse est d'une belle simplicité : les charges accélérées. La puissance rayonnée par une charge accélérée non-relativiste est donnée par la formule de Larmor :
$$P = \frac{q^2 a^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3}$$Le Spectre Électromagnétique
Les équations de Maxwell ne placent aucune restriction sur la fréquence des ondes électromagnétiques. Le spectre électromagnétique entier, des ondes radio aux rayons gamma, consiste en le même phénomène : des champs électrique et magnétique oscillants se propageant à la vitesse $c$.
| Type | Longueur d'onde | Fréquence | Source |
|---|---|---|---|
| Radio | $> 1$ mm | $< 300$ GHz | Circuits, antennes |
| Infrarouge | $700$ nm $ - 1$ mm | $300$ GHz $- 430$ THz | Rayonnement thermique |
| Visible | $400 - 700$ nm | $430 - 750$ THz | Transitions atomiques |
| Ultraviolet | $10 - 400$ nm | $750$ THz $- 30$ PHz | Étoiles chaudes |
| Rayons X | $0.01 - 10$ nm | $30$ PHz $- 30$ EHz | Transitions internes |
| Rayons gamma | $< 0.01$ nm | $> 30$ EHz | Transitions nucléaires |
Le Triomphe de Maxwell
Avant Maxwell, la lumière, les ondes radio, les rayons X et le rayonnement thermique semblaient être des phénomènes complètement différents. La théorie de Maxwell révéla qu'ils sont des manifestations d'une seule entité, l'onde électromagnétique, ne différant que par la fréquence.
Ondes Électromagnétiques dans les Milieux
Dans un milieu diélectrique linéaire, la vitesse d'onde devient $v = c/n$ où $n = \sqrt{\mu\varepsilon/(\mu_0\varepsilon_0)}$ est l'indice de réfraction.
Points Clés
- Les équations de Maxwell prédisent des ondes électromagnétiques se propageant à $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$
- L'équation d'onde émerge du couplage mutuel de $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$
- Les ondes EM sont transversales : $\mathbf{E} \perp \mathbf{B} \perp \hat{\mathbf{k}}$, avec $E = cB$
- Le vecteur de Poynting $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}/\mu_0$ donne le flux d'énergie
- Les charges accélérées rayonnent des ondes électromagnétiques (formule de Larmor)
- Le spectre électromagnétique entier, radio aux rayons gamma, est la même physique à différentes fréquences
- Les ondes EM transportent énergie et quantité de mouvement, exerçant une pression de radiation
Perspectives
Nous avons dérivé le champ électromagnétique et ses ondes à partir des équations de Maxwell. Mais ces équations ont une liberté cachée : les champs peuvent être exprimés en termes de potentiels, et ces potentiels ne sont pas uniques. Cette liberté de jauge est l'un des principes les plus profonds de toute la physique. C'est notre prochain sujet.