Formulation Relativiste
L'électromagnétisme était relativiste avant que la relativité ne soit découverte. Quand Einstein formula la relativité restreinte en 1905, il n'eut pas besoin de modifier les équations de Maxwell, elles étaient déjà parfaitement cohérentes avec l'invariance de Lorentz. C'est la mécanique newtonienne qui avait besoin d'être corrigée. Dans cette leçon, nous verrons que lorsque l'électromagnétisme est écrit dans le langage des tenseurs de l'espace-temps, les quatre équations de Maxwell se réduisent à seulement deux, les potentiels forment un 4-vecteur naturel, et la théorie entière tient dans un lagrangien d'une simplicité stupéfiante.
Le Thème Central
L'électromagnétisme n'est pas simplement compatible avec la relativité restreinte, il l'exige. La vitesse de la lumière $c$ apparaît naturellement dans les équations de Maxwell, l'invariance de Lorentz est intégrée dans leur structure, et la théorie atteint sa forme la plus naturelle dans le langage des 4-vecteurs et tenseurs.
Qu'est-ce qu'un tenseur ?
Un tenseur est une généralisation d'un vecteur. Un scalaire (comme la température) est un nombre unique en chaque point : c'est un tenseur de rang 0. Un vecteur (comme la vitesse) a des composantes qui se transforment d'une façon précise quand on change de référentiel : c'est un tenseur de rang 1. Un tenseur de rang 2, comme le tenseur électromagnétique $F^{\mu\nu}$, est un tableau de nombres (une matrice) qui se transforme selon des règles bien définies. Il encode plus d'information qu'un simple vecteur, ici les six composantes de $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ réunies en un seul objet.
Qu'est-ce qu'un 4-vecteur ?
Un 4-vecteur est un vecteur à quatre composantes (une temporelle et trois spatiales) qui se transforme de manière prévisible quand on passe d'un référentiel inertiel à un autre via les transformations de Lorentz. En physique classique, on utilise des vecteurs à 3 composantes $(x, y, z)$. En relativité, l'espace et le temps sont entremêlés, et on doit utiliser des vecteurs à 4 composantes $(ct, x, y, z)$ pour décrire correctement la physique.
Le 4-Potentiel
Les quatre quantités (un potentiel scalaire et trois composantes vectorielles) se combinent naturellement en un 4-vecteur d'espace-temps :
Le 4-Potentiel Électromagnétique
$$A^\mu = \left(\frac{\phi}{c}, \mathbf{A}\right) = \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z\right)$$Il se transforme comme un 4-vecteur sous les transformations de Lorentz, exactement comme la position d'espace-temps $x^\mu = (ct, \mathbf{r})$.
Sous une transformation de Lorentz avec vitesse $v$ le long de l'axe $x$ :
$$\phi' = \gamma(\phi - vA_x), \qquad A_x' = \gamma\left(A_x - \frac{v\phi}{c^2}\right)$$Les potentiels scalaire et vecteur se mélangent sous les boosts, tout comme le temps et l'espace.
La transformation de jauge prend une forme compacte en 4 dimensions :
$$A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \chi$$La condition de jauge de Lorenz devient :
$$\partial_\mu A^\mu = 0$$Le Tenseur de Force de Champ
Les champs électrique et magnétique se combinent en un seul tenseur antisymétrique :
Le Tenseur Électromagnétique
$$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$$Écrit comme une matrice $4 \times 4$ :
$$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$$Les six composantes indépendantes du tenseur antisymétrique $F^{\mu\nu}$ sont précisément les trois composantes de $\mathbf{E}$ et les trois composantes de $\mathbf{B}$. Elles sont unifiées en un seul objet géométrique vivant dans l'espace-temps.
Équations de Maxwell sous Forme Covariante
Le plus grand bénéfice de la formulation tensorielle est la compression des quatre équations de Maxwell en deux :
Équations de Maxwell : Forme Covariante
Les quatre équations de Maxwell se réduisent à deux équations tensorielles :
$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu \qquad \text{(équations inhomogènes)}$$ $$\partial_{[\alpha} F_{\beta\gamma]} = 0 \qquad \text{(équations homogènes)}$$La première encode la loi de Gauss ($\nu = 0$) et la loi d'Ampère-Maxwell ($\nu = 1,2,3$). La seconde encode l'absence de monopôles et la loi de Faraday.
Invariants de Lorentz
À partir de $F^{\mu\nu}$, on peut construire des quantités scalaires identiques dans tous les référentiels :
Invariants Électromagnétiques
Deux quantités sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels :
1. $B^2 - E^2/c^2$ est invariant de Lorentz
2. $\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}$ est invariant de Lorentz
Si $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$ dans un référentiel, ils sont perpendiculaires dans tous. Ces invariants classifient les champs électromagnétiques en types qu'aucune transformation de Lorentz ne peut changer.
La Force de Lorentz comme 4-Force
L'équation du mouvement pour une particule de charge $q$ et de 4-vitesse $u^\mu$ est :
$$\frac{dp^\mu}{d\tau} = qF^{\mu\nu}u_\nu$$La force magnétique ne fait pas de travail : seul le champ électrique peut changer l'énergie d'une particule.
Le Lagrangien Électromagnétique
Qu'est-ce qu'un lagrangien ?
Un lagrangien est une fonction unique à partir de laquelle on peut dériver toutes les équations du mouvement d'un système via le principe de moindre action. Au lieu d'énoncer chaque loi séparément, on écrit un seul lagrangien et les équations de Maxwell, la force de Lorentz et la conservation de l'énergie en découlent toutes automatiquement. C'est un peu comme une recette de cuisine à partir de laquelle on peut préparer tout un repas.
La théorie entière de l'électromagnétisme classique découle d'une seule densité lagrangienne.
La Densité Lagrangienne EM
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J_\mu A^\mu$$Le premier terme décrit le champ électromagnétique libre. Le second décrit son couplage à la matière chargée. Tout l'électromagnétisme découle de cette seule expression via le principe de moindre action.
En variant par rapport à $A_\nu$ et en posant $\delta S = 0$, on obtient :
$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$$C'est précisément l'équation de Maxwell inhomogène ! L'équation homogène est automatique.
Le Tenseur Énergie-Impulsion
L'énergie et l'impulsion du champ électromagnétique sont encodées dans le tenseur énergie-impulsion :
$$T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}\left(F^{\mu\alpha}F^\nu{}_{\alpha} - \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right)$$- $T^{00}$ est la densité d'énergie
- $T^{0i}/c$ est la densité d'impulsion (le vecteur de Poynting divisé par $c^2$)
- $T^{ij}$ est le tenseur de contraintes de Maxwell
La Structure de la Physique Moderne
La formulation relativiste de l'électromagnétisme est le modèle pour toute la physique fondamentale. Chaque force du Modèle Standard est décrite par un lagrangien de la forme $-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$, avec le tenseur de force de champ $F$ généralisé aux groupes de jauge non-abéliens. Le chemin de Maxwell au Modèle Standard est remarquablement direct.
Points Clés
- Les potentiels $(\phi/c, \mathbf{A})$ forment un 4-vecteur de Lorentz $A^\mu$
- Les champs $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ sont des composantes du tenseur antisymétrique $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$
- Les quatre équations de Maxwell se compriment en deux : $\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$ et $\partial_{[\alpha}F_{\beta\gamma]} = 0$
- Les invariants de Lorentz $B^2 - E^2/c^2$ et $\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}$ classifient les champs
- La loi de la force de Lorentz devient $dp^\mu/d\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$
- Toute la théorie découle du lagrangien $\mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J_\mu A^\mu$
- L'électromagnétisme fut le premier, et reste le plus clair, exemple de théorie de champ de jauge relativiste
Perspectives
Avec l'électromagnétisme maintenant dans son langage relativiste naturel, nous sommes prêts à plonger dans la relativité restreinte elle-même. Dans la Phase 4, nous développerons le cadre complet des transformations de Lorentz, de la géométrie de l'espace-temps, des 4-vecteurs et de la mécanique relativiste.