Transformations de Lorentz
Qu'est-ce qu'un référentiel inertiel ?
Un référentiel inertiel est un point de vue à partir duquel on observe le monde, et dans lequel un objet libre (sans force exercée sur lui) se déplace en ligne droite à vitesse constante. Par exemple, un laboratoire immobile sur Terre est approximativement un référentiel inertiel. Un train roulant à vitesse constante en est un autre. En revanche, un manège en rotation ne l'est pas, car les objets semblent dévier de leur trajectoire même sans force appliquée (on ressent une « force centrifuge »). La relativité restreinte s'applique uniquement aux référentiels inertiels.
En 1905, Albert Einstein publia un article qui allait remodeler notre compréhension de l'espace et du temps à jamais. Partant de deux postulats remarquablement simples, il dériva un ensemble de transformations de coordonnées qui révélèrent quelque chose d'étonnant : l'espace et le temps ne sont pas la scène absolue et indépendante sur laquelle se joue la physique. Ils sont entremêlés, relatifs et dépendants de l'observateur. Ce sont les transformations de Lorentz, et elles forment l'ossature mathématique de la relativité restreinte.
Les deux postulats d'Einstein
1. Le principe de relativité : Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels. Aucune expérience ne peut distinguer un référentiel inertiel d'un autre.
2. La constance de la vitesse de la lumière : La vitesse de la lumière dans le vide, $c \approx 3 \times 10^8$ m/s, est la même pour tous les observateurs inertiels, indépendamment du mouvement de la source ou de l'observateur.
Le premier postulat étend le principe de relativité de Galilée (qui ne s'appliquait qu'à la mécanique) à toute la physique, y compris l'électromagnétisme. Le second postulat est le plus révolutionnaire : il contredit directement notre intuition quotidienne selon laquelle les vitesses s'additionnent simplement.
L'échec des transformations galiléennes
En physique newtonienne, si le référentiel $S'$ se déplace à la vitesse $v$ le long de l'axe $x$ par rapport au référentiel $S$, les coordonnées se transforment selon :
$$x' = x - vt, \quad y' = y, \quad z' = z, \quad t' = t$$La dernière équation, $t' = t$, encode l'hypothèse newtonienne que le temps est absolu, le même pour tous les observateurs. Sous ces transformations galiléennes, les vitesses s'ajoutent linéairement :
$$u' = u - v$$Mais cela conduit à une contradiction avec les équations de Maxwell. Si la lumière se propage à la vitesse $c$ dans le référentiel $S$, alors dans le référentiel $S'$ se déplaçant à la vitesse $v$, la lumière devrait se propager à $c - v$ ou $c + v$ selon la direction. Cela signifierait que les équations de Maxwell prennent des formes différentes dans différents référentiels, violant le principe de relativité.
L'expérience de Michelson-Morley (1887) confirma que la vitesse de la lumière est effectivement la même dans toutes les directions, indépendamment du mouvement de la Terre dans l'espace. Quelque chose devait céder. Ce qui céda fut notre notion de temps absolu.
Dérivation des transformations de Lorentz
Considérons deux référentiels inertiels : $S$ avec les coordonnées $(x, t)$ et $S'$ avec les coordonnées $(x', t')$, où $S'$ se déplace à la vitesse $v$ le long de l'axe $x$ par rapport à $S$. Nous cherchons la transformation linéaire la plus générale compatible avec les postulats d'Einstein.
La linéarité est requise car un mouvement uniforme dans un référentiel doit correspondre à un mouvement uniforme dans un autre. La transformation linéaire la plus générale est :
$$x' = \gamma(x - vt)$$ $$t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$$où $\gamma$ est un facteur à déterminer. Appliquons maintenant le second postulat : une impulsion lumineuse émise à l'origine à $t = 0$ satisfait $x = ct$ dans le référentiel $S$ et $x' = ct'$ dans le référentiel $S'$. En substituant et en exigeant que la transformation inverse ait la même forme avec $v \to -v$, on obtient :
Le facteur de Lorentz
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$$où $\beta = v/c$. Notons que $\gamma \geq 1$, avec $\gamma = 1$ quand $v = 0$ et $\gamma \to \infty$ quand $v \to c$.
Les transformations de Lorentz
$$x' = \gamma(x - vt)$$ $$t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$$ $$y' = y, \quad z' = z$$Les transformations inverses s'obtiennent en remplaçant $v$ par $-v$ :
$$x = \gamma(x' + vt'), \quad t = \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)$$Celles-ci se réduisent aux transformations galiléennes quand $v \ll c$ (donc $\gamma \approx 1$ et le terme $vx/c^2$ est négligeable). La relativité restreinte ne remplace pas la physique newtonienne. Elle l'étend aux hautes vitesses.
Interactif : Transformation de Lorentz
Déplacez le curseur pour changer la vitesse. Observez comment les axes S' s'inclinent vers le cône de lumière.
Dilatation du temps
L'idée de la dilatation du temps
La dilatation du temps signifie qu'une horloge en mouvement par rapport à vous semble battre plus lentement. Ce n'est pas un défaut de l'horloge : le temps lui-même s'écoule plus lentement pour les objets en mouvement. Plus un objet se déplace vite par rapport à vous, plus son temps ralentit. Le temps mesuré par l'horloge dans son propre référentiel (au repos par rapport à elle) est appelé temps propre, et c'est toujours le temps le plus court entre deux événements.
Considérons une horloge au repos dans le référentiel $S'$ (donc $\Delta x' = 0$). Quel intervalle de temps un observateur dans $S$ mesure-t-il ?
En utilisant la transformation inverse $\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\Delta x'/c^2)$ avec $\Delta x' = 0$ :
Dilatation du temps
$$\Delta t = \gamma \, \Delta t'$$Une horloge en mouvement avance plus lentement d'un facteur $\gamma$. Le temps mesuré dans le référentiel propre de l'horloge, $\Delta t'$, est appelé le temps propre $\Delta\tau$.
Ce n'est ni une illusion ni un effet mécanique sur les horloges. Le temps lui-même s'écoule plus lentement pour l'observateur en mouvement. Tout processus physique (réactions chimiques, vieillissement biologique, désintégration radioactive) est ralenti du même facteur.
Contraction des longueurs
L'idée de la contraction des longueurs
La contraction des longueurs signifie qu'un objet en mouvement par rapport à vous paraît plus court dans la direction de son mouvement. Ce n'est pas une illusion d'optique : l'objet est réellement plus court tel que mesuré dans votre référentiel. La longueur propre $L_0$ est la longueur mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos, c'est la longueur la plus grande possible.
Considérons une tige au repos dans le référentiel $S'$ de longueur $L_0 = \Delta x'$ (sa longueur propre). Pour mesurer sa longueur dans $S$, nous devons marquer les deux extrémités simultanément dans $S$ ($\Delta t = 0$).
Contraction des longueurs
$$L = \frac{L_0}{\gamma}$$Un objet en mouvement est contracté dans la direction du mouvement d'un facteur $\gamma$. Les longueurs perpendiculaires au mouvement ne sont pas affectées.
La relativité de la simultanéité
La simultanéité en physique classique et relativiste
La simultanéité désigne le fait que deux événements se produisent au même instant. En physique newtonienne, si deux éclairs frappent en même temps pour un observateur, ils frappent en même temps pour tous les observateurs. En relativité, cette certitude disparaît : deux événements simultanés pour un observateur peuvent se produire à des instants différents pour un autre observateur en mouvement. Cela ne dépend pas de la rapidité avec laquelle l'information voyage, mais de la structure même de l'espace-temps.
La conséquence peut-être la plus déroutante des transformations de Lorentz est que la simultanéité est relative. Deux événements qui sont simultanés dans un référentiel ($\Delta t = 0$) ne le sont généralement pas dans un autre.
De la transformation du temps : si $\Delta t = 0$ mais $\Delta x \neq 0$, alors :
$$\Delta t' = -\gamma \frac{v \, \Delta x}{c^2} \neq 0$$Des événements séparés dans l'espace qui sont simultanés dans $S$ se produisent à des temps différents dans $S'$. Ce n'est pas une question de délais de signaux ou d'erreurs de mesure. Cela reflète la structure fondamentale de l'espace-temps.
Addition des vitesses
Si un objet se déplace à la vitesse $u'$ dans le référentiel $S'$, quelle vitesse $u$ un observateur dans $S$ mesure-t-il ?
Addition relativiste des vitesses
$$u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$$Les vitesses ne s'additionnent pas simplement. Même si $u' = 0.9c$ et $v = 0.9c$, la vitesse combinée est $u = 0.9945c$, toujours inférieure à $c$.
Preuves expérimentales
Désintégration des muons
Les muons sont des particules instables créées dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques. Dans leur référentiel propre, les muons ont une demi-vie d'environ $\tau = 1.5 \,\mu\text{s}$. Voyageant à $v \approx 0.998c$, ils ne devraient parcourir qu'environ $450$ m avant de se désintégrer, pourtant ils sont détectés à la surface de la Terre, environ $10$ km en dessous de leur altitude de création.
La dilatation du temps explique cela : dans le référentiel terrestre, la durée de vie du muon est dilatée à $\gamma\tau \approx 24 \,\mu\text{s}$, lui permettant de parcourir les $10$ km complets.
Accélérateurs de particules
Au Grand Collisionneur de Hadrons (LHC), les protons sont accélérés à $v = 0.999999991c$, donnant $\gamma \approx 7500$. La conception de chaque composant de l'accélérateur repose sur la cinématique relativiste.
Satellites GPS
Les satellites GPS orbitent à environ $14000$ km/h. Sans la correction de la dilatation du temps relativiste (environ $7 \,\mu\text{s/jour}$), les positions GPS dériveraient d'environ $10$ km par jour.
Le groupe de Lorentz
L'ensemble de toutes les transformations de Lorentz forme un groupe mathématique, appelé le groupe de Lorentz. Il comprend les boosts (transformations entre référentiels de vitesses différentes), les rotations spatiales, la parité et le renversement du temps.
En écrivant le boost de Lorentz sous forme matricielle et en définissant la rapidité $\phi$ par $\tanh\phi = v/c$, le boost devient :
$$\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\phi & -\sinh\phi \\ -\sinh\phi & \cosh\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}$$Les rapidités, contrairement aux vitesses, s'additionnent linéairement : deux boosts successifs de rapidités $\phi_1$ et $\phi_2$ donnent un boost combiné de rapidité $\phi_1 + \phi_2$.
- Les deux postulats d'Einstein déterminent de manière unique les transformations de Lorentz
- Le temps n'est pas absolu : les horloges en mouvement ralentissent d'un facteur $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$
- Les objets en mouvement se contractent dans la direction du mouvement d'un facteur $\gamma$
- La simultanéité est relative : des événements simultanés dans un référentiel peuvent ne pas l'être dans un autre
- Les vitesses s'additionnent de manière relativiste, garantissant que rien ne peut dépasser la vitesse de la lumière
- Les transformations de Lorentz forment un groupe de symétrie, avec des liens profonds avec les lois de conservation
- La rapidité est le paramètre naturel pour les boosts de Lorentz, analogue à l'angle pour les rotations