Leçon 3.6 · 3. Électromagnétisme

Optique Géométrique

Dans la leçon précédente, nous avons explore la nature ondulatoire de la lumière en detail : interférence, diffraction et cohérence. Mais dans de nombreuses situations pratiques, nous n'avons pas besoin de suivre chaque oscillation et chaque phase. Lorsque la lumière interagit avec des objets bien plus grands que sa longueur d'onde, les effets ondulatoires deviennent négligeables, et la lumière peut être decrite comme se propageant le long de rayons, des lignes droites qui indiquent la direction du flux d'énergie. C'est le domaine de l'optique géométrique, la plus ancienne branche de l'optique et toujours le fondement de la conception de lentilles et miroirs, des systèmes d'imagerie, et de notre comprehension quotidienne de la vision.

L'approximation des rayons

Lorsque la longueur d'onde $\lambda$ est bien plus petite que toutes les dimensions pertinentes (tailles d'ouverture, tailles d'objets, distances), les effets de diffraction sont négligeables et la lumière se propage en ligne droite le long de rayons. L'optique géométrique est la limite $\lambda \to 0$ de l'optique ondulatoire. C'est une approximation enormement utile : pratiquement toute la conception d'instruments optiques (caméras, télescopes, microscopes, lunettes) repose sur elle.

Principe de Fermat

Toute l'optique géométrique peut être dérivée d'un seul enonce elegant :

Principe de Fermat du temps minimal

La lumière se propage entre deux points le long du chemin qui prend le moins de temps (plus precisement, le chemin pour lequel le temps de parcours est stationnaire par rapport a de petites variations).

$$\delta \int_A^B \frac{ds}{v} = \delta \int_A^B \frac{n(s)}{c} \, ds = 0$$

où $n = c/v$ est l'indice de réfraction et $ds$ est un élément de longueur infinitesimal.

Le principe de Fermat EST le principe d'action

Dans la Leçon 1 (Principe de moindre action), nous avons appris que la nature choisit le chemin qui rend l'action $S = \int L \, dt$ stationnaire. Le principe de Fermat est exactement la même idee appliquée à la lumière : l'"action" est le chemin optique $\int n \, ds$, et la lumière "choisit" le chemin qui rend cette quantité stationnaire. Ce n'est pas une coincidence. Dans la description quantique (Leçon 11, Integrales de chemin), la lumière explore tous les chemins simultanement, et le rayon classique émerge comme le chemin de phase stationnaire, exactement comme la trajectoire classique émerge de la somme sur les histoires de Feynman. L'unite profonde de la physique se révèle : la mécanique et l'optique sont gouvernees par le même principe variationnel.

Voyons comment le principe de Fermat produit les lois de la réflexion et de la réfraction.

Réflexion

Loi de la réflexion à partir du principe de Fermat

Considérons la lumière voyageant du point A au point B via une réflexion sur un miroir plan. Nous voulons trouver le point de réflexion P qui minimise le temps total de parcours.

Étape 1 : Mise en place des coordonnées. Le miroir est le long de l'axe $x$. A est en $(0, h_1)$ et B en $(d, h_2)$, avec $h_1, h_2 > 0$. Le point de réflexion P est en $(x, 0)$.

Étape 2 : Longueur totale du chemin. Dans un milieu uniforme (indice $n$ constant), minimiser le temps revient a minimiser la distance : $$L(x) = \sqrt{x^2 + h_1^2} + \sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}$$

Étape 3 : Minimiser. En posant $dL/dx = 0$ : $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + h_1^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}} = 0$$ Le premier terme est $\sin\theta_i$ (le sinus de l'angle d'incidence) et le second est $\sin\theta_r$ (le sinus de l'angle de réflexion).

Étape 4 : Conclusion. $$\sin\theta_i = \sin\theta_r \implies \boxed{\theta_i = \theta_r}$$ L'angle d'incidence est egal à l'angle de réflexion. Cette loi ancienne, connue empiriquement depuis des millenaires, decoule inevitablement du principe de Fermat.

Loi de la réflexion : l'angle d'incidence θᵢ est egal à l'angle de réflexion θᵣ, tous deux mesures par rapport à la normale à la surface.

Réfraction : Loi de Snell-Descartes

Derivation de la loi de Snell-Descartes à partir du principe de Fermat

Considérons maintenant la lumière voyageant d'un point A dans un milieu 1 (indice de réfraction $n_1$) a un point B dans un milieu 2 (indice $n_2$), en traversant une interface plane.

Étape 1 : Mise en place. L'interface est en $y = 0$. Le point A est en $(0, h_1)$ dans le milieu 1, le point B en $(d, -h_2)$ dans le milieu 2. Le point de traversée est en $(x, 0)$.

Étape 2 : Chemin optique. Le temps est : $$T(x) = \frac{n_1}{c}\sqrt{x^2 + h_1^2} + \frac{n_2}{c}\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}$$

Étape 3 : Minimiser. En posant $dT/dx = 0$ : $$n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + h_1^2}} = n_2 \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}$$

Étape 4 : Loi de Snell-Descartes. En reconnaissant les facteurs géométriques comme des sinus d'angles : $$\boxed{n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2}$$ C'est la loi de Snell-Descartes, dérivée uniquement du principe selon lequel la lumière minimise son temps de parcours.

Réflexion totale interne

Lorsque la lumière passe d'un milieu plus dense a un milieu moins dense ($n_1 > n_2$), la loi de Snell-Descartes donne $\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1$. Si $\sin\theta_1 > n_2/n_1$, il n'existe pas de solution réelle pour $\theta_2$ : la lumière est complètement réfléchie dans le milieu plus dense. L'angle critique est :

$$\theta_c = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$

La réflexion totale interne est le principe à la base des fibres optiques (explorees dans la Leçon 67) et est utilisée dans les prismes, les jumelles et de nombreux autres dispositifs optiques.

Lentilles

La lentille mince

Une lentille est un élément de materiau transparent (généralement du verre, $n \approx 1.5$) a surfaces courbees qui refracte la lumière. Une lentille mince est une lentille dont l'épaisseur est negligeable par rapport aux rayons de courbure et à la distance focale.

La propriété clé d'une lentille mince convergente : tous les rayons parallèles à l'axe optique convergent, après avoir traversé la lentille, en un seul point appelé foyer F, situe a une distance $f$ (la distance focale) derriere la lentille.

L'équation de la lentille mince

Pour une lentille mince de distance focale $f$, un objet à la distance $s$ de la lentille produit une image à la distance $s'$ donnee par :

$$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$$

Le grandissement est $M = -s'/s$. Un grandissement negatif signifie que l'image est inversee. Cette équation s'appliqué aux lentilles convergentes ($f > 0$) et divergentes ($f < 0$).

Trace de rayons pour une lentille mince convergente. Trois rayons principaux localisent l'image : (1) parallèle à l'axe, refracte par F' ; (2) par le centre, non dévié ; (3) par F, refracte parallelement. L'image est réelle, inversee et agrandie lorsque s est compris entre f et 2f.

L'équation du fabricant de lentilles

La distance focale d'une lentille mince dépend de sa forme et de l'indice de réfraction de son materiau. L'équation du fabricant de lentilles les relie :

$$\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$

où $R_1$ et $R_2$ sont les rayons de courbure des deux surfaces. Pour une lentille biconvexe symetrique de rayon $R$, on obtient $1/f = 2(n-1)/R$.

Miroirs

Miroirs concaves

Un miroir concave (convergent) a une surface reflechissante qui s'incurve vers l'interieur. Pour un miroir sphérique de rayon de courbure $R$, la distance focale est :

$$f = \frac{R}{2}$$

L'équation du miroir à la même forme que l'équation de la lentille mince :

$$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f} = \frac{2}{R}$$

Les miroirs concaves focalisent les rayons parallèles en un foyer et sont utilisés dans les télescopes a réflexion, les phares automobiles et les concentrateurs solaires.

Miroirs convexes

Un miroir convexe (divergent) s'incurve vers l'exterieur. Les rayons parallèles divergent après réflexion, semblant provenir d'un foyer virtuel derriere le miroir. La distance focale est negative : $f = -R/2$. Les miroirs convexes produisent toujours des images virtuelles, droites et reduites, c'est pourquoi ils sont utilisés comme retroviseurs grand angle (avec l'avertissement : "les objets dans le miroir sont plus proches qu'il n'y parait").

Gauche : un miroir concave focalisé les rayons parallèles en un foyer reel F. Droite : un miroir convexe fait diverger les rayons ; en les prolongeant vers l'arrière, ils semblent provenir d'un foyer virtuel F derriere le miroir.

Instruments optiques

Le télescope

Un télescope refracteur simple est constitue de deux lentilles convergentes : un grand objectif (distance focale $f_o$) qui collecte la lumière et forme une image réelle, et un plus petit oculaire (distance focale $f_e$) à travers lequel l'observateur voit une image agrandie.

Le grossissement angulaire d'un télescope est :

$$M = -\frac{f_o}{f_e}$$

Une grande distance focale de l'objectif et une petite distance focale de l'oculaire donnent un fort grossissement. Le signe negatif indique que l'image est inversee. L'ouverture de l'objectif détermine à la fois la capacité de collecte de lumière (proportionnelle à la surface) et la résolution angulaire (limitée par la diffraction : $\theta_{\min} \approx 1.22\lambda/D$, où $D$ est le diamètre d'ouverture).

Pourquoi les grands télescopes sont-ils toujours des reflecteurs, jamais des refracteurs ?

Une lentille doit être supportee par ses bords, donc les grandes lentilles flechissent sous leur propre poids, deformant l'image. Le plus grand télescope refracteur jamais construit (Observatoire de Yerkes, 1897) a une lentille de 1 metre et n'a jamais ete surpasse. Un miroir, en revanche, peut être supporte sur toute sa face arrière. Les télescopes modernes utilisent des miroirs jusqu'a 10 metres de diamètre. De plus, les miroirs n'ont pas d'aberration chromatique, et une seule surface reflechissante n'introduit pas de dispersion.

Le microscope

Un microscope compose utilisé aussi deux lentilles, mais la géométrie differe. Un objectif a courte focale crée une image réelle agrandie d'un objet proche, et l'oculaire agrandit davantage cette image intermediaire.

Le grandissement total est :

$$M = M_o \times M_e = -\frac{L}{f_o} \times \frac{25\text{ cm}}{f_e}$$

où $L$ est la longueur du tube (distance entre les foyers des deux lentilles) et $25$ cm est la distance conventionnelle du punctum proximum de l'oeil humain. La résolution d'un microscope est limitée par la diffraction a environ $\lambda/(2 \cdot \text{NA})$, ou NA est l'ouverture numérique.

Aberrations

Les lentilles et miroirs reels ne sont pas parfaits. Les écarts par rapport à l'imagerie ideale sont appeles aberrations.

Aberration sphérique

Un miroir ou une lentille sphérique ne focalise pas tous les rayons parallèles au même point. Les rayons éloignés de l'axe optique (rayons marginaux) sont focalisés plus près du miroir que les rayons proches de l'axe (rayons paraxiaux). Cela produit une image floue. L'effet peut être réduit en utilisant des miroirs paraboliques (qui ont exactement la courbure appropriée pour éliminer l'aberration pour les objets sur l'axe) ou en n'utilisant que la partie centrale de la lentille (au prix de la capacité de collecte de lumière).

Aberration chromatique

L'indice de réfraction $n$ du verre dépend de la longueur d'onde (dispersion). La lumière bleue ($n$ plus grand) est davantage réfractée que la lumière rouge ($n$ plus petit), donc une lentille simple focalisé les différentes couleurs a des distances différentes. Cela produit des halos colorés autour des images. Le remède standard est un doublet achromatique : deux lentilles de verres différents (par exemple crown et flint) collées ensemble, conçues pour que leurs dispersions s'annulent tout en maintenant une puissance focalisante nette.

Les miroirs sont complètement exempts d'aberration chromatique, puisque la réflexion ne dépend pas de la longueur d'onde. C'est une raison supplémentaire pour laquelle les grands télescopes utilisent des miroirs.

D'autres aberrations comprennent la coma (les points hors axe sont images en taches en forme de comete), l'astigmatisme (distances focales différentes dans différents plans), la courbure de champ (l'image se forme sur une surface courbee plutot que plane) et la distorsion (les lignes droites de l'objet apparaissent courbees dans l'image). La conception optique est l'art d'equilibrer ces aberrations en combinant lentilles et miroirs.

Dispersion et prismes

Puisque l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde, $n = n(\lambda)$, un prisme separe la lumière blanche en ses couleurs composantes. Pour la plupart des materiaux transparents dans le visible, l'indice est bien décrit par l'équation de Cauchy :

$$n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots$$

Le coefficient $B > 0$ signifie que $n$ décroît avec la longueur d'onde : la lumière bleue est davantage deviee que la rouge (dispersion normale).

Des prismes à la mécanique quantique

La célèbre expérience de Newton avec un prisme (1666) montra que la lumière blanche est un mélange de couleurs, mais elle souleva une question : pourquoi le verre dévié-t-il davantage la lumière bleue que la rouge ? La réponse dut attendre la mécanique quantique et la théorie atomique de la matière (Leçon 7). L'indice de réfraction provient de l'interaction de la lumière avec les électrons atomiques. Les fréquences de résonance de ces électrons se trouvent dans l'ultraviolet, et la fonction de réponse produit naturellement un indice de réfraction qui décroît avec la longueur d'onde dans le visible (loin de la résonance).

Exercices

Exercice 1 : Formation d'image

Un objet est place a 30 cm devant une lentille convergente de distance focale 20 cm. (a) Où est l'image ? (b) Est-elle réelle ou virtuelle ? (c) Quel est le grandissement ? (d) Si l'objet mesure 5 cm de haut, quelle est la taille de l'image ?

(a) En utilisant l'équation de la lentille mince : $$\frac{1}{s'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60}$$ Donc $s' = 60$ cm.

(b) Puisque $s' > 0$, l'image est réelle (du cote oppose de la lentille par rapport à l'objet).

(c) $M = -s'/s = -60/30 = -2$. L'image est inversee et agrandie d'un facteur 2.

(d) Hauteur de l'image : $h' = M \times h = -2 \times 5 = -10$ cm (10 cm de haut, inversee).

Exercice 2 : Réflexion totale interne

Un rayon lumineux se propage dans une fibre de verre ($n = 1.50$) entouree d'une gaine ($n = 1.46$). (a) Quel est l'angle critique pour la réflexion totale interne ? (b) Quel est l'angle d'incidence maximal (mesure depuis l'axe de la fibre) à la face d'entrée de la fibre pour que la lumière soit guidee ?

(a) Angle critique : $$\theta_c = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \arcsin\left(\frac{1.46}{1.50}\right) = \arcsin(0.973) = 76.7°$$

(b) À la face d'entrée, le rayon est refracte dans la fibre. Pour qu'il atteigne l'interface cœur-gaine à l'angle critique, l'angle à l'interieur de la fibre (depuis l'axe) doit être $90° - 76.7° = 13.3°$. Par la loi de Snell-Descartes à l'entrée : $$\sin\theta_{\max} = n_1 \sin(13.3°) = 1.50 \times 0.230 = 0.345$$ $$\theta_{\max} = 20.2°$$ Ceci définit l'ouverture numérique : $\text{NA} = \sin\theta_{\max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{1.50^2 - 1.46^2} = 0.344$.

Exercice 3 : Conception d'un télescope

Un télescope refracteur a un objectif de distance focale $f_o = 1200$ mm et un oculaire de $f_e = 25$ mm. (a) Quel est le grossissement angulaire ? (b) Si vous voulez resoudre deux etoiles séparées de 1 seconde d'arc, quel diamètre minimum d'objectif faut-il (a $\lambda = 550$ nm) ?

(a) Grossissement angulaire : $|M| = f_o / f_e = 1200/25 = 48\times$.

(b) La résolution angulaire limitée par la diffraction est : $$\theta_{\min} = 1.22 \frac{\lambda}{D}$$ En posant $\theta_{\min} = 1'' = 4.85 \times 10^{-6}$ rad : $$D = 1.22 \frac{\lambda}{\theta_{\min}} = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{4.85 \times 10^{-6}} = 0.138 \text{ m} \approx 14 \text{ cm}$$

Exercice 4 : Application du principe de Fermat

Un sauveteur au point A sur la plage doit atteindre un nageur en difficulte au point B dans l'eau. Le sauveteur court à la vitesse $v_1$ sur le sable et nage à la vitesse $v_2 < v_1$ dans l'eau. En utilisant le principe de Fermat (en remplacant le "chemin optique" par le "temps"), montrez que le chemin optimal obeit à la loi de Snell-Descartes : $\sin\theta_1 / v_1 = \sin\theta_2 / v_2$.

Solution : Le temps total est $T = \sqrt{x^2 + a^2}/v_1 + \sqrt{(d-x)^2 + b^2}/v_2$. En minimisant $T$ par rapport au point d'entrée $x$ : $$\frac{dT}{dx} = \frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} - \frac{d-x}{v_2\sqrt{(d-x)^2 + b^2}} = 0$$ $$\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2}$$ C'est identique à la loi de Snell-Descartes avec $n \propto 1/v$. Le sauveteur ne doit pas courir en ligne droite vers le nageur, mais prendre un chemin avec un angle plus marque dans l'eau, passant plus de temps sur le milieu rapide (le sable). La nature fait de même avec la lumière.

Points Clés

L'optique géométrique est la limite $\lambda \to 0$ de l'optique ondulatoire, valide lorsque toutes les dimensions pertinentes sont bien superieures à la longueur d'onde.
Le principe de Fermat (la lumière prend le chemin de temps stationnaire) est l'analogue optique du principe de moindre action, unifiant la mécanique et l'optique au niveau le plus fondamental.
La loi de Snell-Descartes $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ et la loi de la réflexion $\theta_i = \theta_r$ decoulent toutes deux du principe de Fermat.
L'équation de la lentille mince $1/s + 1/s' = 1/f$ et l'équation du miroir gouvernent la formation d'image dans tous les systèmes optiques simples.
Les instruments optiques (télescopes, microscopes) combinent des lentilles pour obtenir un grossissement, avec une résolution ultime limitée par la diffraction.
Les aberrations (sphérique, chromatique, coma, astigmatisme) limitent les systèmes optiques reels et guident l'art de la conception de lentilles.

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