Ondes Gravitationnelles
Einstein a prédit en 1916 que des masses en accélération devraient générer des ondulations dans l'espace-temps, des ondes gravitationnelles, se propageant à la vitesse de la lumière. Pendant un siècle, elles sont restées théoriques. Puis, le 14 septembre 2015, les détecteurs LIGO ont enregistré un signal provenant de deux trous noirs fusionnant à 1.3 milliard d'années-lumière. L'espace-temps avait été observé en train de vibrer. Dans cette leçon, nous développons la théorie des ondes gravitationnelles à partir de la gravité linéarisée, explorons leurs deux polarisations, dérivons la formule du quadrupôle pour le rayonnement, et survolons le nouveau domaine de l'astronomie des ondes gravitationnelles.
Les ondes gravitationnelles en une phrase
Les ondes gravitationnelles sont des perturbations transverses et de trace nulle de la métrique de l'espace-temps, se propageant à la vitesse de la lumière avec deux polarisations indépendantes, générées par le moment quadrupolaire en accélération d'une distribution de masse.
Gravité linéarisée
Qu'est-ce qu'une onde gravitationnelle ?
Une onde gravitationnelle est une ondulation de l'espace-temps lui-même, qui se propage à la vitesse de la lumière. Imaginez jeter une pierre dans un lac : les rides se propagent à la surface. De manière similaire, quand des masses énormes accélèrent violemment (comme deux trous noirs en fusion), elles créent des "rides" dans le tissu de l'espace-temps. Ces ondes étirent et compriment l'espace dans les directions perpendiculaires à leur propagation, mais l'effet est extraordinairement faible.
Pour trouver des solutions d'ondes, nous partons d'un espace-temps presque plat. Écrivons la métrique comme une petite perturbation autour du fond de Minkowski :
$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \quad |h_{\mu\nu}| \ll 1$$Les équations d'Einstein, développées au premier ordre en $h_{\mu\nu}$ et en négligeant les termes d'ordre supérieur, deviennent linéaires. C'est le régime de la gravité linéarisée.
Sous une transformation infinitésimale de coordonnées $x^\mu \to x^\mu + \xi^\mu$, la perturbation se transforme comme $h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} - \partial_\mu \xi_\nu - \partial_\nu \xi_\mu$. C'est l'analogue gravitationnel de l'invariance de jauge en électromagnétisme. Nous pouvons utiliser cette liberté pour imposer la jauge de Lorenz (aussi appelée jauge de de Donder ou harmonique) :
$$\partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0$$où $\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} h$ est la perturbation à trace inversée ($h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$).
L'équation d'onde
Dans la jauge de Lorenz, les équations d'Einstein linéarisées dans le vide deviennent :
Équation d'onde gravitationnelle
$$\Box \bar{h}_{\mu\nu} = 0$$où $\Box = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2$ est l'opérateur d'onde de d'Alembert. Les perturbations gravitationnelles se propagent sous forme d'ondes à la vitesse de la lumière.
Avec une source, l'équation devient $\Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$, dont la solution implique la fonction de Green retardée, exactement comme le rayonnement électromagnétique.
Jauge transverse sans trace
Pour une onde plane se propageant dans la direction $z$, on peut fixer davantage la jauge en choisissant la jauge transverse sans trace (TT), dans laquelle :
- $h_{0\mu} = 0$ (purement spatiale)
- $h_{iz} = 0$ (transverse à la propagation)
- $h^i{}_i = 0$ (sans trace)
Les seules composantes non nulles sont $h_{xx} = -h_{yy} \equiv h_+$ et $h_{xy} = h_{yx} \equiv h_\times$. Ce sont les deux polarisations indépendantes.
$$h^{TT}_{ij} = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times & 0 \\ h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cos[\omega(t - z/c)]$$Deux polarisations
Une onde gravitationnelle étire et comprime l'espace dans les directions transverses à sa propagation. Considérons un anneau de particules test libres dans le plan $xy$ lorsqu'une onde passe dans la direction $z$ :
La polarisation $+$ étire selon $x$ tout en comprimant selon $y$, puis inversement. La polarisation $\times$ fait de même mais tournée de 45 degrés. C'est la signature d'un champ de spin 2 : le motif de polarisation se répète après une rotation de 180 degrés (comparé à 360 degrés pour les ondes électromagnétiques, qui sont de spin 1).
La formule du quadrupôle
Qu'est-ce qui génère les ondes gravitationnelles ? Le rayonnement électromagnétique nécessite un moment dipolaire variant dans le temps. Le rayonnement gravitationnel nécessite un moment quadrupolaire variant dans le temps. Il n'y a pas de rayonnement dipolaire gravitationnel car la conservation de l'impulsion empêche le dipôle de masse d'accélérer (contrairement à la charge électrique, où les charges positives et négatives peuvent osciller l'une contre l'autre).
Formule de rayonnement quadrupolaire
$$h_{ij}^{TT} = \frac{2G}{c^4 r} \ddot{I}_{ij}^{TT}(t_{\text{ret}})$$où $I_{ij} = \int \rho(x) x_i x_j \, d^3x$ est le moment quadrupolaire de masse, les points dénotent les dérivées temporelles, et $t_{\text{ret}} = t - r/c$ est le temps retardé.
Le facteur $G/c^4 \approx 8.3 \times 10^{-45}$ s$^2$/(kg$\cdot$m) est extraordinairement petit. C'est pourquoi les ondes gravitationnelles sont si faibles : il faut des masses énormes subissant des accélérations violentes pour produire des signaux détectables.
Énergie rayonnée
Les ondes gravitationnelles emportent de l'énergie de leur source. La puissance rayonnée est :
$$P = \frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{I}_{ij} \dddot{I}^{ij} \right\rangle$$Pour un système binaire de deux masses égales $m$ sur une orbite circulaire de rayon $R$ :
$$P = \frac{32 G^4 m^5}{5 c^5 R^5}$$Cette perte d'énergie fait rétrécir l'orbite, augmenter la fréquence orbitale, et croître l'amplitude et la fréquence de l'onde gravitationnelle, le signal de "chirp" caractéristique. Pour deux étoiles à neutrons, les dernières minutes avant la fusion produisent un balayage de fréquence dramatique de dizaines à des milliers de hertz.
Le pulsar binaire de Hulse-Taylor
La première preuve indirecte des ondes gravitationnelles est venue de PSR B1913+16, un pulsar binaire découvert par Hulse et Taylor en 1974. En chronométrant les impulsions radio pendant des décennies, ils ont mesuré le taux de décroissance orbitale et ont trouvé qu'il correspondait à la formule du quadrupôle d'Einstein à 0.2% près. L'orbite rétrécit d'environ 3.5 mètres par an à mesure que l'énergie des ondes gravitationnelles est rayonnée. Ce travail a été récompensé par le prix Nobel de physique en 1993.
LIGO et la détection directe
LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) détecte les ondes gravitationnelles par interférométrie laser. Deux bras perpendiculaires, chacun de 4 km de long, forment un interféromètre en L. Une onde gravitationnelle étire un bras tout en comprimant l'autre, modifiant la longueur de chemin relative. LIGO mesure des changements de longueur de l'ordre de $10^{-18}$ mètres, un millième du diamètre d'un proton.
La première détection, GW150914, provenait de deux trous noirs de 36 et 29 masses solaires fusionnant pour former un trou noir de 62 masses solaires. Les 3 masses solaires manquantes ont été rayonnées sous forme d'énergie d'ondes gravitationnelles. Brièvement, pendant la dernière fraction de seconde, cette fusion a brillé plus que tout l'univers visible en puissance émise.
Depuis lors, LIGO et Virgo ont détecté des dizaines d'événements :
- Fusions de trous noirs binaires : la source la plus courante, allant des trous noirs de masse stellaire aux trous noirs de masse intermédiaire
- Fusions d'étoiles à neutrons binaires : GW170817, également observée en rayonnement électromagnétique sur tout le spectre ("astronomie multi-messagers")
- Fusions étoile à neutrons-trou noir : systèmes mixtes
Astronomie des ondes gravitationnelles
Les ondes gravitationnelles fournissent des informations inaccessibles à l'astronomie électromagnétique. Elles traversent la matière sans être arrêtées, transportent des informations sur les champs gravitationnels les plus forts, et sondent directement la dynamique de l'espace-temps lui-même.
Les futurs détecteurs élargiront considérablement notre portée :
- LISA (Laser Interferometer Space Antenna) : un interféromètre spatial avec des bras de millions de kilomètres, sensible aux fréquences en millihertz provenant des fusions de trous noirs supermassifs
- Réseaux de chronométrage de pulsars : utilisant le chronométrage précis de pulsars milliseconde pour détecter des ondes gravitationnelles en nanohertz du fond cosmique de fusions de trous noirs supermassifs
- Einstein Telescope / Cosmic Explorer : détecteurs terrestres de prochaine génération avec dix fois la sensibilité de LIGO
Points Clés
- La gravité linéarisée produit une équation d'onde : les perturbations gravitationnelles se propagent à la vitesse de la lumière
- Les ondes gravitationnelles ont deux polarisations ($+$ et $\times$), tournées de 45 degrés l'une par rapport à l'autre, la signature d'un champ de spin 2
- Seuls les moments quadrupolaires (ou d'ordre supérieur) variant dans le temps génèrent du rayonnement gravitationnel. Il n'y a pas de rayonnement dipolaire gravitationnel
- La formule du quadrupôle $h \sim G\ddot{I}/c^4r$ montre que des masses énormes en mouvement violent sont nécessaires pour produire des ondes détectables
- Les pulsars binaires ont fourni la première preuve indirecte ; LIGO a fourni la première détection directe en 2015
- L'astronomie des ondes gravitationnelles ouvre une nouvelle fenêtre sur l'univers, sondant les environnements gravitationnels les plus extrêmes
Perspectives
Nous avons vu comment la relativité générale décrit la géométrie locale autour de masses isolées (Schwarzschild, Kerr) et le rayonnement de cette géométrie (ondes gravitationnelles). Dans la dernière leçon de cette phase, nous appliquons les équations d'Einstein à l'univers dans son ensemble. Les solutions cosmologiques (les métriques de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker) décrivent un univers en expansion et posent les bases de la cosmologie moderne.