Mécanique Hamiltonienne
La mécanique lagrangienne utilise la position et la vitesse : $(q, \dot{q})$. La mécanique hamiltonienne utilise la position et la quantité de mouvement : $(q, p)$. Ce changement apparemment mineur ouvre une vision complètement différente de la physique, une vision qui mène directement à la mécanique quantique.
Qu'est-ce que le hamiltonien ?
Le hamiltonien $H$ est une façon d'exprimer l'énergie totale d'un système en utilisant la position $q$ et la quantité de mouvement $p$ comme variables (au lieu de la position et de la vitesse). Dans la plupart des situations courantes, le hamiltonien est simplement la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle : $H = T + V$. Mais formuler l'énergie de cette manière révèle une structure mathématique très puissante, qui deviendra la base de la mécanique quantique.
Du lagrangien au hamiltonien
La transformée de Legendre
Qu'est-ce que la transformée de Legendre ?
La transformée de Legendre est une technique mathématique qui permet de changer les variables d'une fonction sans perdre d'information. Imaginez que vous décrivez une courbe soit par ses points, soit par ses tangentes : les deux descriptions sont équivalentes, mais l'une peut être plus pratique que l'autre selon le problème. Ici, on passe de la description en termes de vitesse $\dot{q}$ à une description en termes de quantité de mouvement $p$, ce qui est plus naturel pour de nombreux problèmes.
On souhaite passer de $\dot{q}$ à $p$ comme variable. Cela se fait via la transformée de Legendre.
Le moment conjugué est défini par :
Pour $L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)$, cela donne $p = m\dot{q}$, la quantité de mouvement habituelle.
Le hamiltonien est défini par :
où l'on exprime $\dot{q}$ en fonction de $p$ (en inversant $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$).
Exemple : Particule libre
Pour $L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2$ :
- $p = m\dot{q}$ → $\dot{q} = p/m$
- $H = p \cdot \frac{p}{m} - \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{p^2}{m} - \frac{p^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$
Pour une particule dans un potentiel :
Le hamiltonien est l'énergie totale (en l'absence de dépendance temporelle explicite).
Équations de Hamilton
L'équation d'Euler-Lagrange (une équation du second ordre) devient deux équations du premier ordre :
Ce sont les équations de Hamilton, les équations du mouvement sous forme hamiltonienne.
On part de $H = p\dot{q} - L$. Prenons la différentielle totale :
$$ dH = \dot{q}\,dp + p\,d\dot{q} - \frac{\partial L}{\partial q}dq - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q} $$Puisque $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, les termes en $d\dot{q}$ s'annulent :
$$ dH = \dot{q}\,dp - \frac{\partial L}{\partial q}dq $$Mais aussi, puisque $H = H(q, p)$ :
$$ dH = \frac{\partial H}{\partial q}dq + \frac{\partial H}{\partial p}dp $$En comparant les coefficients :
$$ \frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q} \qquad \frac{\partial H}{\partial q} = -\frac{\partial L}{\partial q} = -\dot{p} $$(en utilisant Euler-Lagrange : $\dot{p} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$)
Espace des phases
Qu'est-ce que l'espace des phases ?
L'espace des phases est un espace abstrait dont chaque point représente l'état complet d'un système : sa position et sa quantité de mouvement. Pour une bille sur un rail, l'espace des phases est un plan avec la position sur un axe et la quantité de mouvement sur l'autre. Un seul point dans cet espace vous dit tout ce qu'il faut savoir sur la bille à cet instant : où elle est et comment elle bouge. À mesure que le système évolue, ce point trace une courbe dans l'espace des phases, comme un tracé GPS qui enregistre à la fois la position et la vitesse.
En mécanique lagrangienne, l'état d'un système est un point dans l'espace de configuration : l'espace de toutes les positions $q$.
En mécanique hamiltonienne, l'état est un point dans l'espace des phases : l'espace de toutes les paires $(q, p)$.
Pourquoi l'espace des phases est important
L'espace des phases est l'endroit où la physique vit réellement. Chaque point représente un état complet, suffisant pour déterminer tout le futur (et le passé) du système. Les trajectoires ne se croisent jamais (déterminisme). Le « flux » de points à travers l'espace des phases encode toute la dynamique.
Crochets de Poisson
Qu'est-ce qu'un crochet de Poisson ?
Le crochet de Poisson est une opération mathématique qui prend deux grandeurs physiques et produit un nombre mesurant à quel point elles « s'influencent mutuellement ». Si le crochet de Poisson de deux grandeurs est nul, elles sont indépendantes l'une de l'autre. Sinon, la connaissance de l'une affecte l'autre. C'est l'ancêtre classique du commutateur en mécanique quantique, et il fournit un moyen élégant de reformuler toutes les équations du mouvement.
Les équations de Hamilton ont une structure algébrique élégante. On définit le crochet de Poisson de deux fonctions $f(q,p)$ et $g(q,p)$ :
Alors les équations de Hamilton deviennent :
En fait, pour toute fonction $f(q, p, t)$ :
Crochets de Poisson fondamentaux
Ce sont les relations de commutation canoniques en mécanique classique.
Connexion : La route vers la mécanique quantique
En mécanique quantique, les crochets de Poisson deviennent des commutateurs :
$$ \{q, p\} = 1 \quad \longrightarrow \quad [\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar $$C'est la procédure de quantification canonique. Toute la structure de la mécanique quantique découle du remplacement $\{,\} \to \frac{1}{i\hbar}[,]$.
Lois de conservation revisitées
Une quantité $f(q, p)$ est conservée si $\frac{df}{dt} = 0$. En utilisant notre formule :
Si $f$ n'a pas de dépendance temporelle explicite, la conservation signifie $\{f, H\} = 0$.
C'est le théorème de Noether en langage hamiltonien : les quantités conservées sont celles qui Poisson-commutent avec le hamiltonien.
Théorème de Liouville
Considérons un nuage de conditions initiales dans l'espace des phases, un ensemble de systèmes. Au fil du temps, chaque point se déplace selon les équations de Hamilton.
Théorème de Liouville
Le volume de l'espace des phases occupé par un ensemble est constant dans le temps. Le nuage peut s'étirer et se tordre, mais son volume est préservé.
Mathématiquement, le « fluide » de l'espace des phases est incompressible :
Cela a des conséquences profondes :
- Mécanique statistique : Le théorème de Liouville sous-tend l'ensemble microcanonique
- Information : Le volume de l'espace des phases mesure l'« information » d'un état. Elle est conservée, donc l'information est conservée
- Chaos : Dans les systèmes chaotiques, les volumes sont préservés mais étirés exponentiellement dans certaines directions (et comprimés dans d'autres)
Transformations canoniques
En mécanique lagrangienne, on peut changer de coordonnées librement. En mécanique hamiltonienne, on peut faire encore plus : on peut mélanger positions et moments.
Une transformation canonique est un changement de variables $(q, p) \to (Q, P)$ qui préserve la forme des équations de Hamilton.
L'exigence clé : les nouvelles variables doivent satisfaire les mêmes crochets de Poisson :
C'est un groupe de transformations bien plus large que les simples changements de coordonnées : c'est le groupe symplectique.
Théorie de Hamilton-Jacobi (aperçu)
La formulation la plus profonde de la mécanique classique. L'idée : trouver une transformation canonique qui rend le nouveau hamiltonien nul (ou trivialement simple).
Cela mène à l'équation de Hamilton-Jacobi :
où $S(q, t)$ est la fonction principale de Hamilton.
Connexion : Hamilton-Jacobi et mécanique quantique
L'équation de Hamilton-Jacobi est la limite classique de l'équation de Schrödinger. Si $\psi = e^{iS/\hbar}$, alors dans la limite $\hbar \to 0$, l'équation de Schrödinger devient Hamilton-Jacobi. C'est le lien le plus profond entre mécanique classique et quantique.
Comparaison : Lagrangien vs Hamiltonien
| Lagrangien | Hamiltonien |
|---|---|
| Variables : $(q, \dot{q})$ | Variables : $(q, p)$ |
| Une équation du 2nd ordre | Deux équations du 1er ordre |
| Espace de configuration | Espace des phases |
| Principe d'action | Géométrie symplectique |
| Naturel pour la relativité | Naturel pour la mécanique quantique |
Exercices
- Oscillateur harmonique : Pour $H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2$, écrivez les équations de Hamilton et vérifiez qu'elles donnent $m\ddot{q} = -kq$.
- Crochets de Poisson : Montrez que $\{L_x, L_y\} = L_z$ pour les composantes du moment cinétique $L_i = \epsilon_{ijk} q_j p_k$.
- Transformation canonique : Montrez que la transformation $Q = p$, $P = -q$ est canonique (préserve les crochets de Poisson).
- Portrait de phase : Esquissez les trajectoires dans l'espace des phases pour un pendule : $H = \frac{p^2}{2mL^2} - mgL\cos\theta$. Identifiez les équilibres et la séparatrice.
- La mécanique hamiltonienne utilise $(q, p)$ au lieu de $(q, \dot{q})$
- Équations de Hamilton : $\dot{q} = \partial H/\partial p$, $\dot{p} = -\partial H/\partial q$
- L'espace des phases encode l'état complet ; les trajectoires ne se croisent jamais
- Les crochets de Poisson donnent la dynamique : $\dot{f} = \{f, H\}$
- $\{q, p\} = 1$ devient $[\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar$ en mécanique quantique
- Liouville : le volume de l'espace des phases est conservé