Solutions Cosmologiques
La relativité générale n'est pas seulement une théorie des étoiles, des trous noirs et des ondes gravitationnelles. C'est le cadre permettant de comprendre l'univers dans son ensemble. Lorsque nous appliquons les équations de champ d'Einstein aux plus grandes échelles, en supposant que l'univers est homogène et isotrope, nous découvrons que l'univers doit être dynamique : en expansion ou en contraction. Ce fut la première grande prédiction de la cosmologie relativiste, confirmée par l'observation de Hubble des galaxies en récession en 1929. Dans cette leçon, nous dérivons la métrique FLRW, les équations de Friedmann, et explorons les différentes ères de l'histoire de notre univers.
Le Principe Cosmologique
Aux plus grandes échelles, l'univers est homogène (le même partout) et isotrope (le même dans toutes les directions). Cette hypothèse de symétrie, soutenue par les observations du fond diffus cosmologique et des relevés de galaxies, détermine la métrique à une fonction inconnue près : le facteur d'échelle $a(t)$.
La Métrique FLRW
La métrique la plus générale compatible avec l'homogénéité et l'isotropie est la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) :
Métrique FLRW
$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right]$$Le facteur d'échelle $a(t)$ décrit comment les distances entre les galaxies changent au cours du temps. Le paramètre de courbure $k$ prend les valeurs $+1$ (fermé/sphérique), $0$ (plat), ou $-1$ (ouvert/hyperbolique).
Les coordonnées $(r, \theta, \phi)$ sont des coordonnées comobiles : les galaxies au repos dans l'expansion cosmologique ont des coordonnées comobiles fixes. La distance physique entre deux galaxies comobiles séparées par $\Delta r$ est $d(t) = a(t) \Delta r$ : elle évolue avec $a(t)$.
Les Équations de Friedmann
En substituant la métrique FLRW dans les équations de champ d'Einstein avec une source de fluide parfait, on obtient deux équations indépendantes pour $a(t)$ :
Équations de Friedmann
Première équation de Friedmann (composante $00$) :
$$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}$$Seconde équation de Friedmann (équation d'accélération) :
$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$Ici $H = \dot{a}/a$ est le paramètre de Hubble, $\rho$ est la densité d'énergie, $p$ est la pression, et $\Lambda$ est la constante cosmologique.
Les Ères Cosmologiques
Qu'est-ce que le facteur d'échelle ?
Le facteur d'échelle $a(t)$ décrit comment les distances entre observateurs comobiles changent au cours du temps. Si $a$ double, leur distance propre double. Aujourd'hui, on fixe $a = 1$ par convention. En extrapolant la solution classique de Friedmann vers le passé, $a$ tend vers zéro, mais cette extrapolation atteint une singularité où la relativité générale cesse probablement d'être suffisante. L'expansion ne doit donc pas être imaginée comme des galaxies projetées depuis un centre dans un espace extérieur.
Différentes composantes de l'univers ont différentes équations d'état $p = w\rho c^2$, et chacune se dilue différemment à mesure que l'univers s'étend :
- Ère dominée par le rayonnement ($a \propto t^{1/2}$) : les premiers ~50 000 ans
- Ère dominée par la matière ($a \propto t^{2/3}$) : de ~50 000 ans à ~10 milliards d'années
- Ère dominée par l'énergie noire ($a \propto e^{Ht}$) : l'ère actuelle (derniers ~4 milliards d'années)
Densité Critique et Omega
La densité critique est $\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}$. Le paramètre de densité total est mesuré à $\Omega_{\text{total}} \approx 1.00$, décomposé en :
- $\Omega_\Lambda \approx 0.68$ (énergie noire)
- $\Omega_{\text{DM}} \approx 0.27$ (matière noire)
- $\Omega_b \approx 0.05$ (matière baryonique ordinaire)
L'Univers en Expansion
Un photon voyageant à travers l'espace en expansion voit sa longueur d'onde étirée. Le décalage vers le rouge cosmologique $z$ est défini par :
$$1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_e)} = \frac{\lambda_{\text{observé}}}{\lambda_{\text{émis}}}$$Âge et Destin de l'Univers
L'âge de l'univers est obtenu en intégrant l'équation de Friedmann en remontant de $a = 1$ (aujourd'hui) à $a = 0$ (le big bang) : $t_0 \approx 13.8$ milliards d'années.
Horizons Cosmologiques
L'horizon des particules définit la taille de l'univers observable : actuellement environ 46 milliards d'années-lumière de rayon. L'horizon des événements est la distance maximale à partir de laquelle la lumière émise maintenant nous parviendra un jour.
Points Clés
- Le principe cosmologique (homogénéité + isotropie) restreint la métrique à la forme FLRW, paramétrée par le facteur d'échelle $a(t)$ et la courbure spatiale $k$
- Les équations de Friedmann, dérivées des équations d'Einstein, gouvernent l'expansion de l'univers
- Le paramètre de Hubble $H = \dot{a}/a$ mesure le taux d'expansion ; la loi de Hubble $v = Hd$ est un résultat exact pour les observateurs comobiles
- L'univers est passé par des ères dominées par le rayonnement, la matière et l'énergie noire
- Les observations montrent $\Omega \approx 1$ (univers plat), avec ~68% d'énergie noire, ~27% de matière noire et ~5% de matière ordinaire
- L'univers a environ 13,8 milliards d'années. Une expansion éternelle est la prédiction de $\Lambda$CDM si l'énergie noire reste une constante cosmologique, pas une certitude indépendante du modèle
Perspectives
Vous avez maintenant terminé la Phase 6 : Relativité Générale. Les solutions cosmologiques que nous avons dérivées ici sont le point de départ de l'étude détaillée de la cosmologie en Phase 9. Mais d'abord, nous nous tournons vers l'autre pilier de la physique moderne : la théorie quantique des champs.