Invariance de Jauge
Jusqu'ici, nous avons décrit l'électromagnétisme en termes du champ électrique $\mathbf{E}$ et du champ magnétique $\mathbf{B}$. Ce sont les quantités physiques : elles déterminent les forces sur les charges et l'énergie stockée dans les champs. Mais il existe une description plus profonde en termes de potentiels, et cette description révèle une liberté remarquable : les potentiels ne sont pas uniques. On peut les modifier de manières spécifiques sans changer aucune prédiction physique. Cette liberté s'appelle l'invariance de jauge, et ce qui pourrait sembler une simple redondance mathématique s'avère être l'un des principes les plus puissants de toute la physique.
Pourquoi l'Invariance de Jauge Compte
L'invariance de jauge n'est pas qu'une caractéristique de l'électromagnétisme, c'est le principe organisateur de la physique moderne. Le Modèle Standard est entièrement construit sur des symétries de jauge. Les forces forte, faible et électromagnétique sont toutes des théories de jauge.
Qu'est-ce qu'un potentiel ?
En physique, un potentiel est une grandeur auxiliaire à partir de laquelle on peut calculer les forces ou les champs. Pensez à l'altitude sur une carte topographique : l'altitude elle-même ne vous pousse nulle part, mais sa variation (la pente) détermine la direction et la force de la descente. De même, le potentiel scalaire $\phi$ et le potentiel vecteur $\mathbf{A}$ ne sont pas directement mesurables en physique classique, mais leurs variations dans l'espace et le temps donnent les champs $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ qui, eux, sont mesurables.
Les Potentiels Électromagnétiques
Puisque $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$, $\mathbf{B}$ peut s'écrire comme le rotationnel d'un champ vectoriel :
$$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$$où $\mathbf{A}$ est appelé le potentiel vecteur. On définit ensuite le potentiel scalaire $\phi$ :
Champs à Partir des Potentiels
Les champs électrique et magnétique sont dérivés des potentiels $\phi$ et $\mathbf{A}$ par :
$$\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$$ $$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$$Les quatre composantes $(\phi, \mathbf{A})$ encodent la même information que les six composantes de $(\mathbf{E}, \mathbf{B})$. Les potentiels sont une description plus compacte, mais ils viennent avec une liberté.
Qu'est-ce que l'invariance de jauge ?
L'invariance de jauge signifie que plusieurs descriptions mathématiques différentes conduisent aux mêmes prédictions physiques. C'est un peu comme les coordonnées GPS et les adresses postales : ce sont deux façons différentes de décrire le même lieu. De même, on peut modifier les potentiels $\phi$ et $\mathbf{A}$ de certaines façons bien précises sans changer les champs $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ mesurables. Cette liberté de choix, loin d'être un défaut, s'avère être un principe organisateur fondamental de la physique moderne.
Liberté de Jauge
Voici l'observation cruciale : les potentiels $\phi$ et $\mathbf{A}$ ne sont pas uniques. Différents choix de potentiels peuvent donner les mêmes champs physiques $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$.
Soit $\chi(\mathbf{r}, t)$ une fonction scalaire quelconque lisse. Considérons la transformation :
Transformation de Jauge
$$\mathbf{A} \to \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \chi$$ $$\phi \to \phi' = \phi - \frac{\partial \chi}{\partial t}$$Cette transformation laisse les champs physiques $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ complètement inchangés pour tout choix de $\chi$.
Vérifions-le explicitement. Le nouveau champ magnétique est :
$$\mathbf{B}' = \nabla \times \mathbf{A}' = \nabla \times (\mathbf{A} + \nabla \chi) = \mathbf{B}$$puisque le rotationnel d'un gradient est identiquement nul.
Choisir une Jauge
Choix de Jauge Courants
Jauge de Coulomb :
$$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$$Simple pour l'électrostatique et les problèmes de rayonnement, mais pas manifestement covariante de Lorentz.
Jauge de Lorenz (attention : Lorenz, pas Lorentz) :
$$\nabla \cdot \mathbf{A} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$$Traite l'espace et le temps symétriquement. Naturellement adaptée aux problèmes relativistes.
Les Observables Physiques Sont Invariantes de Jauge
Un principe fondamental : toute quantité mesurable doit être invariante de jauge. Les potentiels $\phi$ et $\mathbf{A}$ eux-mêmes ne peuvent pas être mesurés directement. Mais les combinaisons qui forment $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$, ou les quantités qui en dérivent (forces, énergies, sections efficaces), sont invariantes de jauge et physiquement significatives.
L'Effet Aharonov-Bohm
En 1959, Yakir Aharonov et David Bohm prédirent un phénomène quantique remarquable qui éleva le potentiel vecteur d'outil mathématique à réalité physique.
L'Effet Aharonov-Bohm
Quand un faisceau d'électrons se divise autour d'un solénoïde et se recombine, les deux chemins acquièrent une différence de phase :
$$\Delta\varphi = \frac{e}{\hbar}\oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \frac{e\Phi_B}{\hbar}$$Ce déphasage est observable, même si l'électron ne traverse aucune région où $\mathbf{B}$ est non nul. La quantité physique est la phase de boucle, ou holonomie, construite à partir du potentiel. Le potentiel lui-même dépend du choix de jauge et n'est pas une observable locale.
La Symétrie de Jauge comme Principe Fondamental
La leçon profonde de l'invariance de jauge s'étend bien au-delà de l'électromagnétisme. Si l'on exige que la phase de la fonction d'onde puisse varier d'un point à l'autre ($\psi \to e^{i\alpha(\mathbf{r},t)}\psi$), la cohérence requiert d'introduire un champ de jauge. Ce champ de jauge est précisément le potentiel électromagnétique $A_\mu$.
De la Symétrie à l'Interaction
La logique procède dans une direction profonde :
1. Partir d'une particule libre : $\mathcal{L} = \bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi$
2. Exiger l'invariance de jauge locale U(1) : $\psi \to e^{iq\alpha(x)}\psi$
3. Cela force à remplacer $\partial_\mu \to D_\mu = \partial_\mu + iqA_\mu$ (la dérivée covariante)
4. Le champ de jauge $A_\mu$ doit se transformer comme $A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \alpha$
5. Le résultat est la QED : électrodynamique quantique
La symétrie de jauge ne permet pas seulement l'interaction électromagnétique, elle l'exige.
Connexion aux Fibrés
Le potentiel de jauge $\mathbf{A}$ est une connexion sur un fibré principal, et la force de champ $\mathbf{F}$ est la courbure de cette connexion. Cette image géométrique se généralise aux groupes de jauge non-abéliens :
- U(1) : Électromagnétisme (le photon)
- SU(2) : Force faible (bosons W et Z)
- SU(3) : Force forte (huit gluons)
Chaque force du Modèle Standard est une interaction de jauge. Le principe de jauge, découvert d'abord en électromagnétisme, est le principe organisateur de la physique fondamentale.
Points Clés
- Les potentiels $(\phi, \mathbf{A})$ fournissent une description plus fondamentale de l'EM que les champs $(\mathbf{E}, \mathbf{B})$
- Les transformations de jauge $\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\chi$, $\phi \to \phi - \partial_t\chi$ laissent toute la physique inchangée
- Les observables physiques doivent être invariantes de jauge : c'est une contrainte puissante
- L'effet Aharonov-Bohm montre que le potentiel a des conséquences physiques en mécanique quantique, même là où $\mathbf{B} = 0$
- L'invariance de jauge locale n'est pas qu'une redondance, elle dicte la forme des interactions électromagnétiques
- Le principe de jauge se généralise aux groupes non-abéliens, donnant naissance aux forces faible et forte
- Mathématiquement, la théorie de jauge est la théorie des connexions sur les fibrés
Perspectives
Nous avons vu que les potentiels $(\phi, \mathbf{A})$ sont en un certain sens plus fondamentaux que les champs. Dans la prochaine leçon, nous irons plus loin en montrant que l'électromagnétisme est naturellement une théorie relativiste.